1.4. Alt Uzaylar

İspat: $W_i$ kümeleri $V$'nin birer alt uzayı olsun. $\bigcap_i W_i$ kümesi $0$ vektörünü içerdiğinden boş değildir. Şimdi $\alpha,\beta\in\bigcap_i W_i$ ve $a,b\in F$ olsun, bu durumda her $i$ için $\alpha,\beta\in W_i$ olur. Her bir $W_i$ kümesi bir alt uzay olduğundan her $i$ için $a\alpha+b\beta\in W_i$ olur, bu da $a\alpha+b\beta\in\bigcap_i W_i$ demektir.$$\tag*{$\blacksquare$}$$

Alt uzay olması gerekmeyen herhangi bir $A\subset V$ alt kümesini kapsayan alt uzaylar vardır, bunlardan biri si de $V$'nin kendisidir. $A$'yı kapsayan en küçük alt uzay, $A$'yı kapsayan tüm alt uzayların kesişimidir.

İspat: $\bigcap_{A\subset W_i}W_i$ kümesi $A$'yı da içeren bir alt uzay olduğundan $A$ kümesinin elemanlarının lineer kombinasyonları da bu kesişim içinde bulunur, yani $\langle A\rangle\subset\bigcap_{A\subset W_i}W_i$ olur. Diğer yandan $\langle A\rangle$ kümesi $A$'yı içerir ve $V$'nin alt uzaylarından biridir (bk, Uyarı 1.4.3), yani $\langle A\rangle$ kümesi $W_i$ kümelerinden birisidir, böylece $\bigcap_{A\subset W_i}W_i\subset \langle A\rangle$ sonucuna varılır.$$\tag*{$\blacksquare$}$$

Sıradaki teoremde ele alacağımız $W_1+W_2$ kümesi $\alpha_1\in W_1$ ve $\alpha_2\in W_2$ olmak üzere $\alpha_1+\alpha_2$ vektörlerinin oluşturduğu küme olarak tanımlanır.

İspat: $\alpha:=\alpha_1+\alpha_2\in W_1+W_2$, $\beta:=\beta_1+\beta_2\in W_1+W_2$ ve $a,b\in F$ olsun. Bu durumda $$a\alpha+b\beta=a(\alpha_1+\alpha_2)+b(\beta_1+\beta_2)=(a\alpha_1+b\beta_1)+(a\alpha_2+b\beta_2)\in W_1+W_2$$ olur.$$\tag*{$\blacksquare$}$$

İspat: $0\in W_1$ olduğundan $W_2\subset W_1+W_2$ olur, benzer şekilde $W_1\subset W_1+W_2$ olacağı açıktır. Böylece $W_1\cup W_2\subset W_1+W_2$ olur, ayrıca Teorem 1.4.7 gereği $W_1+W_2$ bir alt uzaydır. Teorem 1.4.6 gereği bunlardan $\langle W_1\cup W_2\rangle\subset W_1+W_2$ elde edilir. Diğer yandan her $\alpha\in W_1+W_2$ vektörü $\alpha_1\in W_1$ ve $\alpha_2\in W_2$ olmak üzere $\alpha=\alpha_1+\alpha_2$ olarak yazılabilir. Buradan da $\alpha_1\in W_1\subset \langle W_1\cup W_2\rangle$ ve $\alpha_2\in W_2\subset \langle W_1\cup W_2\rangle$ olduğundan ve $\langle W_1+W_2\rangle$ bir alt uzay olduğundan $\alpha_1+\alpha_2\in \langle W_1\cup W_2\rangle$ olur, yani $W_1+W_2\subset\langle W_1\cup W_2\rangle$ olur. Teoremin ikinci kısmını kanıtlayalım. $W_1=\langle A_1\rangle\subset \langle A_1\cup A_2\rangle$ ve $W_2=\langle A_2\rangle\subset \langle A_1\cup A_2\rangle$ ise $W_1\cup W_2\subset \langle A_1\cup A_2\rangle\subset \langle W_1\cup W_2\rangle$ (bunun ikinci kısmı için bk. Uyarı 1.2.7-2) olacağından $\langle W_1\cup W_2\rangle=\langle A_1\cup A_2\rangle$ olur (bk. Uyarı 1.4.3, Teorem 1.4.6), teoremin kanıtlanan ilk kısmı kullanılırsa elde edilir.$$\tag*{$\blacksquare$}$$

İspat: Eğer $W=\{0\}$ ise $W$ alt uzayı 0-boyutludur, eğer öyle değilse sıfırdan farklı bir $\alpha_1\in W$ vektörü vardır. Bu durumda $\langle \alpha_1\rangle=W$ ise $W$ alt uzayı 1-boyutludur, eğer öyle değilse bir $\alpha_2\not\in\langle \alpha_1\rangle$ vektörü vardır. Bu şekilde mümkün olduğu kadar devam edildiğinde lineer bağımsız olan $\{\alpha_1,\ldots,\alpha_k\}$ vektörleri elde edilsin ve bunlar $W$ uzayını germesin. Bu durumda bir $\alpha_{k+1}\in W$ vektörü vardır ve $\alpha_{k+1}\not\in \langle \alpha_1,\ldots,\alpha_k\rangle$ olur. Bundan dolayı bir $\sum_{i=1}^{k+1}a_i\alpha_i=0$ lineer bağıntısı vardır ve burada $a_{k+1}= 0$ olmalıdır, çünkü $a_{k+1}\neq 0$ olsaydı $\alpha_{k+1}\in \langle \alpha_1,\ldots,\alpha_k\rangle$ olurdu. Böylece lineer bağıntı $0\alpha_{k+1}+\sum_{i=1}^{k}a_i\alpha_i=0$ halini alır ve $\{\alpha_1,\ldots,\alpha_k \}$ vektörleri lineer bağımsız olduğundan her $i$ için $a_i=0$ olmalıdır. Böylece, $\sum_{i=1}^{k+1}a_i\alpha_i=0$ lineer bağıntısı sadece her $a_i=0$ için sağlandığından, $\{\alpha_1,\ldots,\alpha_k, \alpha_{k+1} \}$ vektörleri lineer bağımsızdır. Bu işlemi genelleştirirsek $W$ alt uzayında lineer bağımsız olan ve $W$'yi germeyen her kümenin daha büyük ve lineer bağımsız bir kümeye genişletilebilir olduğunu görürüz. $V$ uzayında $n$'den fazla lineer bağımsız vektör bulunamayacağından bu işlem $m\leq n$ defadan fazla tekrarlanamaz ve $\langle \alpha_1,\ldots,\alpha_m\rangle=W$ olur.$$\tag*{$\blacksquare$}$$

İspat: Teorem 1.4.9 gereği $W$ alt uzayının bir $\{\alpha_1,\ldots,\alpha_m \}$ bazı vardır, ayrıca bu vektörler $V$ içinde de lineer bağımsızdır. Teorem 1.3.11 gereği bu kime $V$'nin bir bazına tamamlanabilir.$$\tag*{$\blacksquare$}$$

İspat: Teorem 1.4.10 gereği $W_1$'in bir bazı $W_2$'nin bir bazına genişletilebilir. Diğer yandan $\dim W_1=\dim W_2$ olduğundan $W_2$'nin bazında $W_1$'in bazındakinden daha fazla vektör var olamaz, dolayısıyla $W_1$'in bir bazı aynı zamanda $W_2$'nin de bir bazıdır. Bu ise $W_1=W_2$ demektir.$$\tag*{$\blacksquare$}$$

İspat: $\{\alpha_1,\ldots,\alpha_m \}$ vektörleri $W_1\cap W_2$ alt uzayının bir bazı olsun (bk. Teorem 1.4.5). Teorem 1.4.10 gereği bu vektörler $W_1$'in bir $\{\alpha_1,\ldots,\alpha_m,\beta_1,\ldots,\beta_k \}$ bazına, aynı zamanda $W_2$'nin bir $\{\alpha_1, \ldots, \alpha_m, \gamma_1, \ldots, \gamma_p \}$ bazına genişletilebilir. Teorem 1.4.8 gereği $\{\alpha_1,\ldots,\alpha_m,\beta_1,\ldots,\beta_k,\gamma_1,\ldots\gamma_p \}$ kümesi $W_1+W_2$ kümesini gerer, şimdi bu kümenin lineer bağımsız olduğunu göstereceğiz. Varsayalım ki $\sum_ia_i\alpha_i+\sum_jb_j\beta_j+\sum_kc_k\gamma_k=0$ lineer bağıntısı sağlansın, bu durumda $\sum_ia_i\alpha_i+\sum_jb_j\beta_j=-\sum_kc_k\gamma_k$ bağıntısı sağlanır. Bu bağıntının sol tarafı $W_1$ içinde, sağ tarafı ise $W_2$ içinde kalır. Dolayısıyla her iki tarafı ortak olarak $W_1\cap W_2$ içinde kalır ve her iki taraf ta sadece $\{\alpha_i\}$ vektörlerinin lineer kombinasyonu olarak yazılabilir. Herhangi bir vektörün $\{\alpha_1,\ldots,\alpha_m,\beta_1,\ldots,\beta_k \}$ vektörlerinin lineer kombinasyonu olarak tek türlü yazılabileceğinden bağıntının sol tarafı düşünüldüğünde her $b_i=0$ olmalıdır. Benzer düşünceyle her $c_i=0$ olduğu da gösterilebilir, sonuç olarak $\sum_ia_i\alpha_i=0$ bağıntısına ulaşılır ve lineer bağımsızlıktan dolayı her $a_i=0$ olur. Böylece $\{\alpha_1,\ldots,\alpha_m,\beta_1,\ldots,\beta_k,\gamma_1,\ldots\gamma_p \}$ kümesinin lineer bağımsız olduğu anlaşılır, yani bu küme $W_1+W_2$ kümesinin bir bazıdır. Buradan da $\dim (W_1+W_2)=m+k+p=(m+k)+(m+p)-m$ elde edilir ki istenendir.$$\tag*{$\blacksquare$}$$

İspat: $W$ alt uzayının bir bazı $\{\alpha_1,\ldots,\alpha_m \}$ olsun. Bu vektörler $\{\alpha_1,\ldots,\alpha_m,\alpha_{m+1},\ldots,\alpha_n\}$ olarak $V$'nin bir bazına tamamlansın ve $\{\alpha_{m+1},\ldots,\alpha_n \}$ tarafından gerilen alt uzay $W'$ olsun (bk, Teorem 1.4.8). Bu durumda $W\cap W'=\{0\}$ olduğu açıktır.$$\tag*{$\blacksquare$}$$

İspat: Bu sonuç Teorem 1.4.12'nin doğrudan bir sonucudur.$$\tag*{$\blacksquare$}$$

Alıştırmalar

1. $P$ ile reel katsayılı polinomların oluşturduğu vektör uzayı gösterilsin. Aşağıdakilerden hangilerinin bunun bir alt uzayı olduğunu tespit edin.
1. $\{p(t)\;|\; p(1)=0 \}$
2. $\{p(t)\;|\; p\text{'nin sabit terimi }0\text{'dır} \}$
3. $\{p(t)\;|\; p\text{'nin derecesi 3'tür} \}$
4. $\{p(t)\;|\; p\text{'nin derecesi 3 veya daha küçüktür} \}$ (Sıfır polinomunun da bu kümede içerildiğinin varsayın, bundan soraki benzer uzaylar için de böyle kabul edin.)
5. $\{p(t)\;|\; p\text{'nin derecesi çifttir} \}\cup\{0\}$
2. Aşağıdakilerden hangilerinin $\mathbb{R}^n$'in bir alt uzayı olduğunu belirleyin.
1. $\{(x_1,\ldots,x_)\;|\;x_1=0 \}$
2. $\{(x_1,\ldots,x_)\;|\;x_1\geq 0 \}$
3. $\{(x_1,\ldots,x_)\;|\;x_1+2x_2=0 \}$
4. $\{(x_1,\ldots,x_)\;|\;x_1+2x_2=1 \}$
5. $\{(x_1,\ldots,x_)\;|\;x_1+2x_2\geq0 \}$
6. $\{(x_1,\ldots,x_)\;|\;x_1=x_2=\cdots=x_n=0 \}$
3. $\{(1,1,0,0), (1,0,1,1)\}$ ve $\{(2,-1,3,3),(0,1,-1,-1)\}$ kümelerinin $\mathbb{R}^4$'ün aynı alt uzayını gerdiklerini gösterin.
4. $\{(1,-1,2,-3), (1,1,2,0), (3,-1,6,-6)\}$ ve $\{(1,0,1,0),(0,2,0,3)\}$ kümelerinin $\mathbb{R}^4$'ün farklı alt uzaylarını gerdiklerini gösterin.
5. $\mathbb{R}^5$ uzayının $$\{(1,1,1,1,1), (1,0,1,0,1), (0,1,1,1,0), (2,0,0,1,1), (2,1,1,2,1), (1,-1,-1,-2,2), (1,2,3,4,-1)\}$$ kümesi tarafından gerilen alt uzayını belirleyin.
6. $\mathbb{R}^4$ uzayının $W_1:=\langle(1,2,3,6), (4,-1,3,6), (5,1,6,12)\rangle$ ve $W_2:=\langle(1,-1, 1,1), (2,-1,4,5)\rangle$ alt uzayları için
1. $W_1\cap W_2$ ve $W_1+W_2$ uzayları için birer baz belirleyin
2. $W_1\cap W_2$ alt uzayının bazını sırasıyla $W_1$'in ve $W_2$'nin bir bazına genişletin. Bunları kullanarak $W_1+W_2$ alt uzayının bir bazını elde edin.
7. $P$ ile reel katsayılı tüm polinomların vektör uzayı gösterilsin. Bu durumda $W_1:=\{p(t)\;|\; p(1)=0 \}$ $W_2:=\{p(t)\;|\; p(2)=0 \}$ alt uzayları için $W_1\cap W_2$ ve $W_1+W_2$ alt uzaylarını belirleyin.
8. $W_1$ ve $W_2$ birer alt uzay olmak üzere bunlardan biri diğerini kapsamadıkça $W_1\cup W_2$ kümesinin bir alt uzay olmadığını gösterin.
9. $W, W_1$ ve $W_2$ alt uzayları için $V=W_1\bigoplus W_2$ ve $W_1\subset W$ koşulları sağlansın. Bu durumda $W=(W\cap W_1)\bigoplus(W\cap W_2)$ olur, kanıtlayın.