1.2. Lineer Bağımsızlık

Eğer $\beta=\sum_{i}a_i\alpha_i$ oluyorsa $\beta$ vektörü $\{\alpha_i\}$ vektörlerinin bir lineer kombinasyonudur denir. Ayrıca $\sum_{i}a_i\alpha_i=0$ biçiminde bir eşitliğe $\{\alpha_i\}$ vektörleri arasında bir lineer bağıntı denir. Bu eşitlik her $a_i=0$ için otomatik olarak sağlanır ve buna aşikar lineer bağıntı denir, en az bir $a_i$ skaleri sıfırdan farklı iken sağlanıyorsa bu eşitlik bir aşikar olmayan lineer bağıntı olarak adlandırılır.

İspat: $\alpha=\sum_{i}b_i\beta_i$ ve $\beta_i=\sum_{j}c_{ij}\gamma_j$ olsun. Bu durumda $\alpha=\sum_{i}b_i\left(\sum_{j}c_{ij}\gamma_j\right)=\sum_{j}\left(\sum_{i}b_ic_{ij}\right)\gamma_j$ elde edilir ki istenendir.$$\tag*{$\blacksquare$}$$

Bu tanımdan aşağıdaki sonuçlar çıkar:

1. $\{\alpha_i\}$ vektörleri lineer bağımlı ise aşikar olmayan bir $\sum_{i}a_i\alpha_i=0$ lineer bağıntısı vardır ve en az bir skaler sıfırdan farklıdır, $a_k\neq0$ olsun. Bu durumda $\alpha_k=\sum_{i\neq k}\left(a_k^{-1}a_i\right)\alpha_i$ olur, yani bu kümedeki bir vektör diğerlerinin lineer kombinasyonudur.
2. $\{\alpha_i\}$ vektörleri lineer bağımsız ise $\sum_{i}a_i\alpha_i=0$ lineer bağıntısının sağlanması sadece her katsayı için $a_i=0$ olmasıyla mümkündür.

İspat: Varsayalım ki $\{\alpha_1,\alpha_2,\ldots\}$ kümesi lineer bağımlı olsun, bu durumda bu vektörler arasında aşikar olmayan bir $\sum_{i}a_i\alpha_i=0$ lineer bağıntısı vardır. Burada sıfır olmayan pozitif sonlu sayıda $a_i$ katsayısı vardır, bu katsayılardan sonuncusu $a_k$ olsun. $k\geq 2$ olmalıdır, çünkü eğer $k=1$ olursa $\alpha_1\neq0$ olduğundan yukarıdaki lineer bağıntı sağlanmaz. Bundan dolayı $\alpha_k=-a_k^{-1}\sum_{i=1}^{k-1}a_i\alpha_i=\sum_{i=1}^{k-1}(-a_k^{-1}a_i)\alpha_i$ elde edilir. Kanıtın diğer yönü Tanım 1.2.2 gereği açıktır.$$\tag*{$\blacksquare$}$$

İspat: $A:=\{\alpha_i\}$, $B:=\{\beta_i \}$ ve $C:=\{\gamma_i \}$ olsun. Bu durumda Teorem 1.2.1 notasyonuyla $A=\langle B\rangle$ olur ve bu teorem gereği $B\subset\langle C\rangle$ ise $\langle B\rangle=A\subset\langle C\rangle$ olur.$$\tag*{$\blacksquare$}$$

İspat: $\alpha_k$ vektörünün $A-\{\alpha_k \}$ kümesi elemanlarının bir lineer kombinasyonu olması demek $A\subset\langle A-\{\alpha_k \}\rangle$ demektir. Buradan da Teorem 1.2.9 gereği $\langle A\rangle\subset\langle A-\{\alpha_k \}\rangle$ elde edilir. Diğer taraftan $\langle\{A-\alpha_k \}\rangle\subset\langle A\rangle$ olduğu açıktır (bk. Uyarı 1.2.7-2).$$\tag*{$\blacksquare$}$$

İspat: $\langle A\rangle\subset\langle A\rangle$ olduğundan Teorem 1.2.9 gereği $\langle \langle A\rangle\rangle\subset\langle A\rangle$ olur. Diğer taraftan $\langle A\rangle\subset\langle \langle A\rangle\rangle$ olduğu açıktır (bk. Uyarı 1.2.7-2).$$\tag*{$\blacksquare$}$$

İspat: $B:=\{\beta_1,\beta_2,\ldots \}$ lineer bağımsız bir küme olsun. Öncelikle $A$ kümesinin $\alpha_i$ vektörlerini teker teker $\beta_j$ vektörleriyle değiştirerek her adımda $V$'yi geren $n$ elemanlı yeni bir küme elde edilebileceğini göstereceğiz. Bunun için $n$ elemanlı $A_k:=\{\beta_1,\beta_2,\ldots,\beta_k,\alpha_{k+1},\alpha_{k+2},\ldots,\alpha_n \}$ kümesinin $V$'yi gerdiğini varsayalım, hipotez gereği $A_0$ için bu doğrudur. $A_k$ kümesi $V$'yi gerdiği için $\beta_{k+1}$ vektörü $A_k$ kümesi vektörlerinin bir lineer kombinasyonu olarak yazılabilir, dolayısıyla $n+1$ elemanlı $\{\beta_1,\ldots,\beta_k,\beta_{k+1},\alpha_{k+1},\ldots,\alpha_n \}$ kümesi lineer bağımlıdır. Yani bu kümenin vektörleri arasında aşikar olmayan bir $$\sum_{j=1}^{k+1}a_j\beta_j+\sum_{i=k+1}^{n}a_i\alpha_i=0$$ lineer bağıntısı vardır, buradaki $a_i$ katsayılarının hepsi birden sıfır değildir. Ayrıca sıfırdan farklı olan katsayıların hepsi $\beta_j$ vektörlerinin katsayısı olamaz, bunlardan bazıları $\alpha_i$ vektörleri katsayıları olmalıdır. Çünkü tüm $\alpha_i$ vektörlerinin katsayıları sıfır olsaydı en az bir $\beta_j$ vektörünün katsayısı sıfırdan farklı olurdu ve bunlar lineer bağımsız olduğundan ilk toplam sıfır olmazdı, dolayısıyla yukarıdaki lineer bağıntı sağlanamazdı. Sonuç olarak en az bir $a_i$ ($i>k$) katsayısı sıfırdan farklıdır ve bundan dolayı $\alpha_i$ vektörü bu kümedeki diğer vektörlerin bir lineer kombinasyonu olarak yazılabilir. Bu vektör $\alpha_{k+1}$ olsun (öyle değilse bile buna göre yeniden sıralanabilir), bu durumda Teorem 1.2.10 gereği $n$ elamanlı $A_{k+1}:=\{\beta_1,\ldots,\beta_k,\beta_{k+1},\alpha_{k+2},\ldots,\alpha_n \}$ kümesi de $V$'yi gerer. Böylece tümevarımla her $A_k$ kümesinin $V$'yi gerdiği gösterilmiş olur, özel olarak $A_n:=\{\beta_1,\beta_2,\ldots,\beta_n \}$ kümesi de $V$'yi gerer. Şimdi bunu kullanarak $B$ kümesinin elaman sayısının $n$'den fazla olamayacağını gösterelim. Eğer $B$ kümesinde $n$'den fazla vektör olsaydı $A_n$ kümesi $V$'yi gerdiğinden $\beta_{n+1}$ vektörü $A_n$ vektörlerinin bir lineer kombinasyonu olarak yazılırdı, bu ise $B$ kümesinin lineer bağımsızlığı ile çelişir.$$\tag*{$\blacksquare$}$$

Alıştırmalar

1. Örnek 1.1.4-3 ile tanımlanan $P$ vektör uzayında $p_1:=t^2+t+1$, $p_2:=t^2-t-2$, $p_3:=t^2+t-1$ ve $p_4:=t-1$ vektörleri lineer bağımsız mıdır? Öyle değil ise aralarında bir lineer bağıntı bulun.
2. Bir önceki alıştırmadaki $p_i$ vektörleri için $\langle p_1,p_2,p_3,p_4 \rangle$ kümesini tespit edin.
3. $n=4$ alarak Örnek 1.1.4-4 ile verilen $P_4$ vektör uzayını geren minimal bir küme bulun. Daha sonra Teorem 1.2.12 sonucunu kullanarak daha az eleman sayısı olan bir kümenin bu uzayı geremeyeceğini gösterin.
4. $P$ veya $P_n$ vektör uzayında $\{1, 1+t, 1+t+t^2, 1+t+t^2+t^3, 1+t+t^2+t^3+t^4 \}$ lineer bağımsızdır, gösterin.
5. Bir küme lineer bağımsız ise her alt kümesi de lineer bağımsızdır, kanıtlayın.
6. Bir kümenin lineer bağımlı bir alt kümesi varsa kendisi de lineer bağımlıdır, kanıtlayın.