3.1. Permütasyonlar
Kayıt Tarihi:
Son Güncelleme:
Determinant kavramını temellendirebilmek için önce permütasyon kavramını anlamalıyız. Bu derste bunu yapacağız, permütasyonlar kısaca bir küme üzerinde tanımlı bire bir dönüşümlerdir.
Anahtar Kelimeler: birim permütasyon · çift permütasyon · evirtim · permütasyon · permütasyon işareti · tek permütasyon · ters permütasyon
Tanım 3.1.1
Bir $S$ kümesinden yine $S$'ye tanımlı bire-bir bir dönüşüme, $S$ kümesinin bir permütasyonu denir. Bir permütasyonu $\pi$ ile göstereceğiz.
Uyarı 3.1.2
İlgileneceğimiz permütasyonlar $S:=\{1,2,\ldots,n\}$ sonlu kümesinde tanımlı olacak, herhangi bir $i\in S$ doğal sayısının permütasyon değerini $\pi(i)$ ile göstereceğiz. Bir permütasyonu göstermek için genellikle iki satırdan oluşan bir notasyın kullanırız. İlk satırda herhangi bir sırada $S$'nin elemanlarını, ikinci satırda da karşılık gelen permütasyon değerlerini yazarız. Örneğin $S:=\{1,2,3,4\}$ kümesinin $\pi(1)=2$, $\pi(2)=4$, $\pi(3)=3$ ve $\pi(4)=1$ biçimindeki $\pi$ permütasyonunu $$ \left(\begin{array}{cccc}1&2&3&4\\2&4&3&1\end{array}\right),\qquad \left(\begin{array}{cccc}2&4&1&3\\4&1&2&3\end{array}\right) \quad\text{veya}\quad \left(\begin{array}{cccc}4&1&3&2\\1&2&3&4\end{array}\right) $$ olarak gösterebiliriz.
Uyarı 3.1.3
Aynı kümenin iki permütasyonu birer fonksiyon olarak kombine edilebilir. Yani $\sigma$ ve $\pi$ permütasyonları için $\sigma\pi$ permütasyonu $(\sigma\pi)(i)=\sigma\left[\pi(i)\right]$ olarak tanımlanır. Örneğin Uyarı 3.1.2 ile verilen $\pi$ permütasyonu ve $$\sigma:=\left(\begin{array}{cccc}1&2&3&4\\1&3&4&2\end{array}\right)$$ olarak tanımlanan $\sigma$ permütasyonu için $$\sigma\pi:=\left(\begin{array}{cccc}1&2&3&4\\3&2&4&1\end{array}\right)$$ olur. Genel olarak $\sigma\pi\neq\pi\sigma$ olduğuna dikkat edilmelidir.
Uyarı 3.1.4
Verilen $\pi$ ve $\sigma$ permütasyonları için $\rho\pi=\sigma$ eşitliğini sağlayan tek bir $\rho$ permütasyonu vardır. Böyle bir $\rho$ permütasyonu $\rho\left[\pi(i)\right]=\sigma(i)$ eşitliğini sağladığından ilk ve ikinci satırında sırasıyla $\pi(i)$ ve $\sigma(i)$ değerleri yer alır. Örneğin Uyarı 3.1.2 ve Uyarı 3.1.3 ile verilen $\pi$ ve $\sigma$ permütasyonlarına karşılık gelen $\rho$ permütasyonu $$\sigma:=\left(\begin{array}{cccc}2&4&3&1\\1&3&4&2\end{array}\right)$$ şeklinde olur.
Tanım 3.1.5
Bir $S$ kümesinin tüm elemanlarını değiştirmeden bırakıyorsa buna birim permütasyon denir ve bu permütasyon $\varepsilon$ ile gösterilir. Ayrıca verilen $\pi$ permütasyonu için $\pi^{-1}\pi=\varepsilon$ eşitliğini sağlayan tek türlü $\pi^{-1}$ permütasyonuna $\pi$ permütasyonunun tersi denir.
Tanım 3.1.6
$i\gt j$ özelliğinde bir çift $i$ ve $j$ indisi için $\pi(i)\gt\pi(j)$ oluyorsa $\pi$ permütasyonu bir evirtim yapıyor denir, $\pi$ permütasyonunun evirtim sayısı $k(\pi)$ ile gösterilir.
Uyarı 3.1.7
Bir $\pi$ permütasyonu için $k(\pi)$ ile $k(\pi^{-1})$ sayıları eşittir. Örnek olarak Uyarı 3.1.2 ile verilen permütasyon için $k(\pi)=4$ olur.
Tanım 3.1.8
Bir $\pi$ permütasyonunun işareti, ${\rm sgn}\,\pi=\left(-1\right)^{k(\pi)}$ olarak tanımlanır. ${\rm sgn}\,\pi=1$ ise $\pi$ permütasyonuna çift bir permütasyon, ${\rm sgn}\,\pi=-1$ ise $\pi$ permütasyonuna tek bir permütasyon denir.
Teorem 3.1.9
${\rm sgn}\,\sigma\pi={\rm sgn}\,\sigma\cdot{\rm sgn}\,\pi$.İspat: $\sigma$ dönüşümünün $$ \left(\begin{array}{ccccc} \cdots&\pi(i)&\cdots&\pi(j)&\cdots\\ \cdots&\sigma\pi(i)&\cdots&\sigma\pi(j)&\cdots \end{array}\right) $$ olarak yazılabileceği açıktır, çünkü $S$'nin her bir elemanı ilk satırda mevcuttur. $i\lt j$ özelliğindeki bir çift $i$ ve $j$ indisi için dört olasılık vardır:
- $i\lt j,\;\pi(i)\lt\pi(j),\;\sigma\pi(i)\lt\sigma\pi(j)$; evirtim yoktur.
- $i\lt j,\;\pi(i)\lt\pi(j),\;\sigma\pi(i)\gt\sigma\pi(j)$; bir evirtim $\sigma$'da, bir evirtim $\sigma\pi$'de vardır.
- $i\lt j,\;\pi(i)\gt\pi(j),\;\sigma\pi(i)\gt\sigma\pi(j)$; bir evirtim $\pi$'de, bir evirtim $\sigma\pi$'de vardır.
- $i\lt j,\;\pi(i)\gt\pi(j),\;\sigma\pi(i)\lt\sigma\pi(j)$; bir evirtim $\sigma$'da, bir evirtim $\pi$'de vardır.
Teorem 3.1.10
Bir $\pi$ permutasyonu $S$'nin bir elemanını değiştirmeden sabit bıraksın. Bu durumda $\pi$ permutasyonunun tek veya çift olması bu elemanı içeren evirtimlerden etkilenmez.İspat: Bir $j$ elemanı için $\pi(j)=j$ olsun. $i\lt j$ olmak üzere bir evirtim olması için gerek ve yeter koşul $\pi(i)\gt\pi(j)=j$ olmasıdır. Farzedelim ki $j$'den önceki $i$ elemanları için bu durum $k$ defa gerçekleşsin. Fakat bu durumda $j$'den sonraki $i$ elemanları için $\pi(i)\lt j$ durumu da $k$ defa gerçekleşir ve bunlar da birer evirtim oluşturur. Sonuç olarak $j$ elemanını içeren $2k$ tane evirtim vardır ve bu bir çift sayı olduğundan $\left(-1\right)^{k(\pi)}$ sayısını değiştirmez.$$\tag*{$\blacksquare$}$$
Teorem 3.1.11
$S$'nin tam olarak iki elemanını yer değiştiren ve diğer elemanları sabit bırakan bir permütasyon tektir.İspat: Bir $\pi$ permütasyonu $i$ ve $j$ elemanlarını yer değiştirsin ve diğer elemanları sabit bıraksın. Teorem 3.1.10 gereği $i$ ve $j$ dışındaki elemanları içeren evirtimler permütasyonun işaretini etkilemez. Bu elemanlar için de tam olarak bir tane evirtim gerçekleştiğinden ${\rm sgn}\,\pi=-1$ olur.$$\tag*{$\blacksquare$}$$
Uyarı 3.1.12
Teorem 3.1.11 en az bir tane tek permutasyonun varlığını gösterir, bununla beraber Teorem 3.1.10 ile de en az bir tane çift permutasyonun varlığı görülür. Şimdi $\sigma$ bir tek permutasyon olsun, eğer $\pi$ permutasyonu çift ise Teorem 3.1.10 gereği $\sigma\pi$ tek olur. Ayrıca $\sigma^{-1}$ de bir tek permutasyondur ve her tek $\tau$ permütasyonuna karşılık bir $\sigma^{-1}\tau$ çift permütasyonu vardır. $\sigma^{-1}\left(\sigma\pi\right)=\pi$ olduğundan, çift permütasyonlar kümesinden tek permütasyonlar kümesine tanımlı $\pi\rightarrow\sigma\pi$ dönüşümü bire-bir ve örtendir. Bundan dolayı tek permütasyonların sayısı ile çift permütasyonların sayısı eşittir.Alıştırmalar
- $n$ elemanlı bir $S$ kümesinin $n!$ tane permütasyonu vardır, gösterin.
- Üç elemanlı bir kümenin altı tane permütasyonu vardır, bunların hangilerinin tek hangilerinin çift olduğunu belirleyin.
2.9. Normal Formlar
Lineer Cebire Giriş
3.2. Determinantlar