2.9. Normal Formlar

Kayıt Tarihi:

Son Güncelleme:

Özet:

Bu derste en genel anlamıyla normal veya kanonik form (biçim) kavramı açıklanacaktır. Özetle bir denklik bağıntısı verildiğinde bir denklik sınıfından seçilen özel bir matrise bir normal form denir.

Anahtar Kelimeler: bağıntı · denklik bağıntısı · denklik sınıfı · kanonik form · normal form

Normal form kavramını anlayabilmek için önce denklik bağıntısı kavramını tanımlamamız gerekiyor. Bir kümenin kendisiyle kartezyen çarpımının her alt kümesi bu küme üzerinde bir bağıntı tanımlar. Bir $(a,b)$ sıralı ikilisi bu bağıntının bir elemanı ise $a$ elemanı $b$ elemanına bağıntılıdır denir ve bu durum $a\sim b$ ile gösterilir.

Tanım 2.9.1
$S$ kümesinde üzerindeki bir bağıntı aşağıdaki özellikleri sağlarsa bu bağıntıya $S$ üzerinde bir denklik bağıntısı denir.
  1. Yansıma özelliğ; $a\sim a$,
  2. simetri özelliği; $a\sim b$ ise $b\sim a$,
  3. geçişme özelliği; $a\sim b$ ve $b\sim c$ ise $a\sim c$.
Bir denklik bağıntısında $a\sim b$ oluyorsa $a$ ile $b$ denktir denir.

Örnek 2.9.2
Rasyonel sayıları ele alalım, $a,b,c,d$ tam sayılar olsun. $a/b\sim c/d$ olması için gerek ve yeter koşul $ad=bc$ olacak şekilde bir denklik bağıntısı tanımlanabilir. Bu tanım rasyonel sayılarda eşitliğin klasik tanımıdır ve denklik bağıntısı şartlarını sağlar. Başka bir örnek olarak doğruları ele alalım, doğrular arasındaki paralel olma bağıntısı da bir denklik bağıntısı örneğidir. Başka bir geometrik örnek olarak üçgenlerin benzer olma bağıntısı da bir denklik bağıntısıdır.

Uyarı 2.9.3
Denklik aslında eşitliğin genelleştirilmiş bir halidir. Denk elemanların hepsi, denklik bağıntısında vurgulanan özelliği taşırlar.

Tanım 2.9.4
Her bir $a\in S$ için $S_a:=\{b\in S\;:\; b\sim a \}$ kümelerine ilgili denklik bağıntısının denklik sınıfları denir. Yani bu kümeler birbirine denk olan elemanlardan oluşur.

Uyarı 2.9.5
$S_a\cap S_b\neq\emptyset$ olsun, yani $c\sim a$ ve $c\sim b$ olacak şekilde bir $c\in S_a\cap S_b$ elemanı var olsun. Bu durumda simetri özelliği gereği $b\sim c$ ve geçişme özelliği gereği $b\sim a$ olur. Diğer yandan başka bir eleman $d\in S_b$ ise, yani $d\sim b$ ise, geçişme özelliği gereği $d\sim a$ olur. Dolayısıyla $d\in S_a$ olacağından $S_b\subset S_a$ elde edilmiş olur. Simetri özelliği kullanılarak benzer şekilde $S_a\subset S_b$ olduğu da gösterilebilir., dolayısıyla $S_a=S_b$ sonucuna varılmış olur. Sonuç olarak denklik sınıfları ya ayrıktır yada birbiriyle özdeştir, bir küme üzerindeki bir denklik bağıntısı o kümeyi denklik sınıfları ile ayrık parçalara ayırır. Ayrıca bir denklik sınıfı, o sınıftan alınan herhangi bir eleman ile tamamen elde edilebilir, alınan bu elemana o denklik sınıfının temsilcisi denir. Ayrıca bir kümenin herhangi ayrık bir parçalanması verildiğinde bunu kullanarak bir denklik bağıntısı tanımlanabilir, bu durumda herhangi iki elemanın denk olması için gerek ve yeter koşul bunların aynı alt kümede olmasıdır.

Uyarı 2.9.6
Şu ana kadar matrisler üzerinde bazı denklik bağıntılarıyla karşılaştık, bunları açıklayalım.
  1. $B=Q^{-1}A$ olacak şekilde tersinir bir $Q$ matrisi varsa $A$ ve $B$ matrisleri soldan bağlantılıdır denir.
  2. $B=PA$ olacak şekilde tersinir bir $P$ matrisi varsa $A$ ve $B$ matrisleri sağdan bağlantılıdır denir.
  3. $B=Q^{-1}AP$ olacak şekilde tersinir $Q$ ve $P$ matrisleri varsa $A$ ve $B$ matrisleri bağlantılıdır denir.
  4. $B=P^{-1}AP$ olacak şekilde tersinir bir $P$ matrisi varsa $A$ ve $B$ matrisleri benzerdir denir.
Örnek olarak soldan bağlantılı olmanın bir denklil bağıntısı olduğunu gösterelim.
  1. $IA=A$ olduğundan $A\sim A$ olur.
  2. $A\sim B$ olsun, yani $B=QA$ eşitliği sağlanacak şekilde bir tersinir $Q$ matrisi var olsun. Bu durumda $A=Q^{-1}B$ olacağından $B\sim A$ olur.
  3. $A\sim B$ ve $B\sim C$ olsun, yani $B=Q_1A$ ve $C=Q_2B$ olacak şekilde tersinir $Q_1$ ve $Q_2$ matrisleri var olsun. Bu durumda $Q_2Q_1A=Q_2B=C$ olacağından $A\sim C$ olur.
Böylece Tanım 2.9.1 ile verilen özellikler sağlanmış olur.

Tanım 2.9.7
Matrisler üzerinde bir denklik bağıntısı verildiğinde, her bir denklik sınıfından özel olarak seçilen bir matrise bir normal form denir.

Uyarı 2.9.8
Matematikte normal ve kanonik terimleri birbiri ile benzer anlamlarda kullanılır. Bir normal (veya kanonik) form, aynı denklik sınıfındaki tüm elemanları temsil eden bir elemandır. Seçilecen bir normal formun şu özellikleri sağlaması gerekir: bir $A$ matrisi verildiğinde
  1. $A$ matrisini içeren denklik sınıfının normal formunu belirlemek için bir metod bilinmelidir,
  2. bu metodla belirlenen normal form tek türlü olmalıdır.
Normal formların bir çok kullanımı vardır, belki de en önemlilleri elemanların matris temsilleri üzerindedir. Bunu daha önce Hermite normal formu konusunda detaylı olarak inceledik. Başka bir örnek olarak bağlantılı olma bağıntısı için normal form Teorem 2.4.8 ile verilmiştir.

Önceki Ders Notu:
2.8. Bazı Uygulamalar
Dersin Ana Sayfası:
Lineer Cebire Giriş
Sonraki Ders Notu:
3.1. Permütasyonlar