3.2. Determinantlar

Kayıt Tarihi:

Özet:

Bu derste determinant kavramını tanıyacağız ve temel özelliklerini keşfedeceğiz. Bu kavram bize matrislerin singülerliğini test etmek için pratik bir yöntem sağlar.

Anahtar Kelimeler: determinant · permütasyon

Bu bölümde $n\times n$ boyutlu bir $A:=\left[a_{ij}\right]$ kare matrisi bir skaler ile eşleştireceğiz. Bu skaleri kullanarak matrisler hakkında daha detaylı bilgiler edineceğiz.

Tanım 3.2.1
$A:=\left[a_{ij}\right]$ kare matrisinin determinantı \begin{equation} \label{eq:det:1} \tag{3.2.1} \det A:=\left|a_{ij}\right|:=\sum_{\pi}\left({\rm sgn}\,\pi\right)a_{1\pi(1)}a_{2\pi(2)}\cdots a_{n\pi(n)} \end{equation} olarak tanımlanır. Burada $A$ matrisinin boyutu $n$'dir ve toplama işlemi $S:=\{1,2,\ldots,n\}$ kümesinin tüm permütasyonları üzerinden yapılmaktadır.

Uyarı 3.2.2
\eqref{eq:det:1} eşitliğindeki toplamda bulunan $n$ teriminin her biri $A$'nın farklı bir satırından alınan bir eleman, farklı bir sütunundan alınan eleman ve permütasyonun işareti ile çarpımından oluşur. Buradaki $n$ sayısı determinantın mertebesi olarak adlandırılır. Tanım 3.2.1 gereği $$ \left|\begin{array}{rr} a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22} \end{array}\right|=a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21} $$ ve $$ \left|\begin{array}{rrr} a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33} \end{array}\right|\begin{array}{ll} &=a_{11}a_{22}a_{33}+a_{12}a_{23}a_{31}+a_{13}a_{21}a_{32}\\ &\qquad-a_{12}a_{21}a_{33}-a_{13}a_{22}a_{31}-a_{11}a_{23}a_{32} \end{array} $$ olduğu kolayca görülür. $n$ mertebeli bir determinant hesabında $n!$ tane toplama işlemi yapılır, dolayısıyla bu tanım dışında etkili hesap yöntemleri bulmak önemlidir.

Teorem 3.2.3
$\det A^T=\det A$.

İspat: $\det A$ hesabındaki toplamın terimleri $$\left({\rm sgn}\,\pi \right)a_{1\pi(1)}a_{2\pi(2)}\cdots a_{n\pi(n)}$$ biçimindedir. Bu çarpımdaki terimlerin satır indisleri doğal sırasında olup sütun indisleri permütasyon değerlerine göre sıralıdır. Benzer şekilde $\det A^T$ açılımında da aynı terimler yer alır fakat $A^T$ matrisi satır indislerine göre sıralanır, yani $A$ matrisinin sütun indislerine göre. Dolayısıyla yukaridaki terim bu toplamda $$\left( {\rm sgn}\,\pi^{-1} \right)a_{\pi^{-1}(1)\,1}a_{\pi^{-1}(2)\,2}\cdots a_{\pi^{-1}(n)\,n}$$ biçiminde yer alır. Teorem 3.1.9 gereği ${\rm sgn}\,\pi={\rm sgn}\,\pi^{-1}$ olduğundan bu terim ile yukarıdaki aynı değere eşittiri böylece ispat tamamlanır.$$\tag*{$\blacksquare$}$$

Uyarı 3.2.4
Teorem 3.2.3 sonucu olarak şunu söyleyebiliriz. Determinant kavramının satırlar için sağlanan özellikleri sütunlar için de sağlanır, bunun tersi de doğrudur.

Teorem 3.2.5
$A$ matrisinin bir satırı (veya sütunu) bir $c$ skaleri ile çarpılarak $A'$ matrisi elde edilsin. Bu durumda $\det A'=c\det A$ olur.

İspat: $\det A$ açılımındaki her terimde her bir satırdan sadece bir tane çarpan bulunur. Dolayısıyla bir satır $c$ ile çarpılırsa toplamdaki her terim de $c$ ile çarpılmış olur. Benzer durum sütunlar için de geçerlidir.$$\tag*{$\blacksquare$}$$

Teorem 3.2.6
$A$ matrisinin herhangi iki satırı (veya sütunu) yer değiştirilerek $A'$ matrisi elde edilsin. Bu durumda $\det A'=-\det A$ olur.

İspat: İki satırın yer değiştirmesi determinant açılımındaki terimlerde bulunan çarpanların karşılık gelen satır indislerinin yer değiştirmesine neden olur. Bu iki indisi yer değiştiren ve diğerlerini sabit bırakan permütasyon $\sigma$ ile gösterilsin. Bu durumda bu yer değiştirmenin etkisi ile terimlerdeki tüm $\pi$ permütasyonlarını $\pi\sigma$ ile değiştirmenin etkisi aynı olur. $\sigma$ permütasyonu tek olduğundan bu değişim her bir terimin işaretinin değişmesine neden olur.$$\tag*{$\blacksquare$}$$

Teorem 3.2.7
$A$ matrisi iki eşit satıra sahip ise $\det A=0$ olur.

İspat: $A$ matrisinin eşit olan satırlarının yerleri değiştirilirse Teorem 3.2.6 gereği determinantın işareti değişmelidir. Diğer yandan matris değişmediğinden $\det A=-\det A$ olur, bu da $\det A=0$ demektir.$$\tag*{$\blacksquare$}$$

Teorem 3.2.8
$A$ matrisinin bir satırı (veya sütunu) bir skaler ile çarpılıp başka bir satırına (sütununa) eklenerek $A'$ matrisi elde edilsin. Bu durumda $\det A'=\det A$ olur.

İspat: $A$ matrisinin $k-$inci satırının $c$ katı $j-$inci satırına eklenerek $A'$ matrisi elde edilsin. Bu durumda \begin{eqnarray*} \det A' &=& \sum_{\pi}\left({\rm sgn}\,\pi \right)a_{1\pi(1)}\cdots \left(a_{j\pi(j)}+ca_{k\pi(k)}\right)\cdots a_{n\pi(n)}\\ &=& \sum_{\pi}\left({\rm sgn}\,\pi \right)a_{1\pi(1)}\cdots a_{j\pi(j)}\cdots a_{k\pi(k)}\cdots a_{n\pi(n)}\\ &&\qquad+c\sum_{\pi}\left({\rm sgn}\,\pi \right)a_{1\pi(1)}\cdots a_{k\pi(j)}\cdots a_{k\pi(k)}\cdots a_{n\pi(n)} \end{eqnarray*} olur. Dikkat edilirse buradaki son toplam, $j-$inci ve $k-$inci satırları aynı olan bir matrisin determinantıdır, dolayısıyla toplamın değeri sıfırdır. Son eşitlikteki ilk toplam da $\det A$ değerine eşit olduğundan ispat tamamlanmış olur.$$\tag*{$\blacksquare$}$$

Uyarı 3.2.9
  1. Tanım 3.2.1 gereği $\det I=1$ olduğu açıktır.
  2. $E$ matrisi bir $c$ skaleri ile Tip 1 elementer matris olsun (bk. Uyarı 2.6.2), bu durumda $\det E=c$ olur. Bunu elde etmek için birim matrise Teorem 3.2.5 sonucu uygulanır.
  3. $E$ matrisi bit Tip 2 elementer matris ise $\det E=1$ olur. Bunu elde etmek için birim matrise Teorem 3.2.8 sonucu uygulanır.
  4. $E$ bir Tip 3 elementer matris ise $\det E=-1$ olur. Bunu elde etmek için birim matrise Teorem 3.2.6 sonucu uygulanır.

Teorem 3.2.10
$E$ bir elementer matris ve $A$ herhangi bir matris ise $\det EA=\det E\det A=\det AE$ olur.

İspat: $E$ elementer matrisinin hangi tip olduğuna göre karşılık gelen elementer işlem temsil edecek Teorem 3.2.5, Teorem 3.2.6 veya Teorem 3.2.8 sonuçlarından uygun olanı ve Uyarı 3.2.9 ile verilen uygun determinant değeri seçilirse iddia edilen eşitliğin sağlandığı görülür.$$\tag*{$\blacksquare$}$$

Teorem 3.2.11
$\det A=0$ olması için gerek ve yeter koşul $A$ matrisinin singüler olmasıdır.

İspat: $A$ matrisi tersinir ise Teorem 2.6.5 gereği elementer matrislerin çarpımı olarak yazılabilir. Teorem 3.2.10 sonucunun tekrarlı uygulanmasıyla $\det A$ değerinin ilgili elementer matrislerin determinantlarının çarpımına eşit olduğu anlaşılır, bu çarpım da sıfırdan farklıdır. Tersine, $A$ singüler ise satırları lineer bağımlıdır ve elementer işlemler uygulayarak bir satırın tamamı sıfır yapılabilir. Böylece Teorem 3.2.7 gereği $\det A=0$ olur.$$\tag*{$\blacksquare$}$$

Teorem 3.2.12
Herhangi iki $n-$boyutlu kare $A$ ve $B$ matrisi için $\det A\cdot\det B=\det BA$ olur.

İspat: $A$ ve $B$ tersinir ise Teorem 3.2.10 sonucunun tekrarlı uygulanmasıyla istenen eşitlik elde edilir. İkisinden en az biri singüler ise bunların çarpımı da singüler olur ve Teorem 3.2.11 gereği her ikisinin de determinantı sıfır olup istenen eşitlik sağlanır.$$\tag*{$\blacksquare$}$$

Alıştırmalar

  1. Bir $A:=\left[a_{ij}\right]$ matrisinin esas köşegen altındaki (her $i$ için $a_{ii}$ elemanlarına esas köşegen elemanları denir) tüm elemanları sıfır ise, yani $i>j$ için $a_{ij}=0$ ise, $\det A=\prod_{i=1}^{n}a_{ii}$ olduğunu gösterin.
  2. Teorem 3.2.10 sonucunu uygulayarak aşağıdaki eşitlikleri doğrulayın. Daha sonra da bir önceki alıştırma ile verilen sonucu kullanarak determinantı hesaplayın. $$ \left|\begin{array}{rrr}3&2&2\\1&4&1\\-2&-4&-1\end{array}\right|=-\left|\begin{array}{rrr}1&4&1\\3&2&2\\-2&-4&-1\end{array}\right|=-\left|\begin{array}{rrr}1&4&1\\0&-10&-1\\0&4&1\end{array}\right|=-\left|\begin{array}{rrr}1&4&1\\0&-2&1\\0&4&1\end{array}\right|=-\left|\begin{array}{rrr}1&4&1\\0&-2&1\\0&0&3\end{array}\right| $$
  3. Aşağıdaki determinatları hesaplayın. $$\left|\begin{array}{rrr}1&-2&2\\-1&3&1\\2&5&-1\end{array}\right| \qquad \left|\begin{array}{rrrr}1&2&0&1\\1&3&4&0\\0&1&5&6\\1&2&3&4\end{array}\right|$$

Önceki Ders Notu:
3.1. Permütasyonlar
Dersin Ana Sayfası:
Lineer Cebire Giriş
Sonraki Ders Notu:
3.3. Kofaktörler