3.3. Kofaktörler

Uyarı 3.3.2

Tanım 3.3.1 gereği \begin{equation} \label{eq:det:2} \tag{3.3.1} A_{11}=\sum_{\pi}\left({\rm sgn}\,\pi \right)a_{2\pi(2)}\cdots a_{n\pi(n)} \end{equation} olur ve burada toplam, $1$ elemanını sabit bırakan tüm $\pi$ permütasyonları üzerinden alınmıştır. Bu şekildeki her permütasyon, $S':=\{2,\ldots,n \}$ kümesi üzerince bir $\pi'$ permütasyonu tanımlar ve bunlar $S$ üzerinde $\pi$ ile çakışır. Ayrıca $\pi$ permütasyonunun hiçbir evirtimi $1$'i içermediğinden ${\rm sgn}\,\pi={\rm sgn}\,\pi'$ olur. Bundan dolayı \eqref{eq:det:2} eşitliğ bir determinant tanımlar, bu determinant $A$ matrisinin ilk satırı ve ilk sütunu silindikten sonra kalan elemanların oluşturduğu matrisin determinantıdır.

Uyarı 3.3.3

Şimdi bir $A_{ij}$ kofaktörünü belirleyelim. Öncelikle için $i-1$ tane Tip 3 elementer satır işlemi ve $j-1$ tane Tip 3 elementer sütun işlemi uygulayarak $a_{ij}$ elamanının ilk satırda ve ilk sütunda yer almasını sağlayalım. Uyarı 3.3.2 gereği bu şekilde ulaşılan kofaktör bir determinant belirler, bu determinantın değeri mutlak değerce $A$ matrisinin $i-$nci satır ve $j-$nci sütunu silinmiş haline eşittir. Ayrıca uygulanan elementer işlemler ve Uyarı 3.2.9 gereği determinantın işareti $\left(-1\right)^{i-1+j-1}=\left(-1\right)^{i+j}$ olur.

Uyarı 3.3.4

Bir determinant açılımında her satırdan ve her sütundan tam olarak bir tane çarpan bulunur. Dolayısıyla $A$ matrisinin bir satırı belirlendiğinde, $\det A$ açılımındaki her bir terimde bu satırdan tam olarak bir eleman çarpan olarak yer alır. Bundan dolayı, bir $i$ verildiğinde $$\det A=\sum_{j}a_{ij}A_{ij}$$ eşitliği sağlanır. Benzer şekilde, bir sütun verildiğinde determinant açılımındaki her bir terimde bu sütunun tek bir elemanı çarpan olarak yer alır. Dolayısıyla verilen bir $k$ için $$\det A=\sum_{j}a_{jk}A_{jk}$$ eşitliği sağlanır. Bu eşitliklerdeki kofaktörler Uyarı 3.3.3 gereği $n-1$ boyutlu birer determinanttır, dolayısıyla her boyuttan determinant hesabı bu şekilde mertebe düşürülerek ve Uyarı 3.2.2 sonucu kullanılarak hesaplanabilir. Eğer bir satırda veya sütunda bir çok eleman sıfır ise determinant hesaplamak için bu satır veya sütuna göre kofaktör açılımı yapılırsa yapılması gereken toplama işlemi sayısı ciddi şekilde azalır. Eğer böyle bir satır veya sütun yoksa bir dizi elementer işlem yapılarak bu sağlanabilir.

Uyarı 3.3.6

Uyarı 3.3.4 ile yapılan işleme benzer olarak, $i-$nci satırın elemanları $k\neq i$ olmak üzere bir $k-$inci satırın elemanlarının kofaktörleriyle çarpılsın. Bu işlemin sonucu, $k-$inci satır ne olursa olsun aynı olur, çünkü kofaktörler hesaplanırken $k-$inci satır ve sütun siliniyor. Özel olarak $k-$inci satır $i-$nci satırın aynısı olsun, Teorem 3.2.7 gereği bu matrisin determinantı sıfır olacağından \begin{equation*} \label{eq:det:3} \sum_{j}a_{ij}A_{kj}=0,\qquad i\neq k \end{equation*} ve \begin{equation*} \label{eq:det:4} \sum_{i}a_{ij}A_{ik}=0,\qquad j\neq k \end{equation*} eşitlikleri elde edilmiş olur. Buradan hareketle \begin{equation} \label{eq:det:5} \tag{3.3.2} \sum_{j}a_{ij}A_{kj}=\delta_{ik}\det A\quad \text{ve}\quad\sum_{i}a_{ij}A_{ik}=\delta_{jk}\det A. \end{equation} eşitliklerinin sağlandığı görülür.

Uyarı 3.3.9

Teorem 3.3.8 sonucu şu önemli bilgi elde edilmiş olur. Bir $A$ matrisin tersinir olması için gerek ve yeter koşul $\det A\neq 0$ olmasıdır ve bu durumda \begin{equation} \label{eq:det:6} \tag{3.3.3} A^{-1}=\frac{1}{\det A}{\rm Adj}\,A \end{equation} eşitliği sağlanır.

Uyarı 3.3.11

Uyarı 3.3.6 ile verilen bağıntılar yardımıyla denklemleri bağımsız olan lineer denklem sistemleri için bir çözüm yöntemi geliştirilebilir. $$\sum_{j=1}^{n}a_{ij}x_j=b_i,\qquad i=1,2,\ldots,n$$ lineer sistemini ele alalım, denklemlerin bağımsız olması demek $A:=\left[a_{ij}\right]$ olmak üzere $\det A\neq0$ olması demektir. $A_{ij}$ ile $a_{ij}$ elamanının kofaktörü gösterilsin, bu durumda Uyarı 3.3.6 ile verilen bağıntılar kullanılarak $$\sum_{i=1}^{n}A_{ik}b_i=\sum_{i=1}^{n}A_{ik}\left( \sum_{j=1}^{n}a_{ij}x_j \right)=\sum_{j=1}^{n}\left(\sum_{i=1}^{n}A_{ik}a_{ij}\right)x_j=\sum_{j=1}^{n}\det A\cdot\delta_{kj}\cdot x_j=\det A\cdot x_k$$ eşitliği elde edilir. $\det A\neq0$ olduğunundan buradan $$x_k=\frac{\sum_{i=1}^{n}A_{ik}b_i}{\det A}$$ eşitliğine varılır. Bu kesrin payındaki toplam, $A$ matrisinin $k-$inci sütununun $b$ ile değiştirilmesiyle elde edilen matris determinantının kofaktör açılımıdır. Bu yöntem literatürde Cramer kuralı olarak bilinir.