3.4. Hamilton-Cayley Teoremi

Bir $p(t)=a_mt^m+\cdots+a_1t+a_0$ polinomunu ele alalım, $n\times n$ boyutlu bir $A$ matrisi için $p(A)$ ile $a_mA^m+a_{m-1}A_{m-1}+\cdots+a_1A+a_0I$ polinomunu gösteririz. Eğer tüm sabit terimler birim matrisin ilgili sabit katı ile değiştirilirse (yukarıdaki $p(A)$ polinomunda $a_0$ sabit terimine yapıldığı gibi) her polinomsal özdeşlik matris değişkenlerle de sağlanır. Ayrıca benzer şekilde matris katsayılı polinomlar da ele alınabilir, bu durumda $t$ değişkenini skaler olarak alacağız. Bu tip polinomlar alışılmış şekilde toplanıp çarpılabilir fakat çarpmada sıra dikkate alınmalıdır. Bundan dolayı bu polinomlar üzerinde işlemler klasik polinomlara göre daha karmaşıktır. Bu tür polinomlar hakkında şunun bilinmesi yeterlidir, matris katsayılı iki polinomun eşit olması için gerek ve yeter koşul bunların katsayılarının aynı olmasıdır. Hem katsayıları hem de değişkeni matris olan polinomlar çok daha karmaşık cebirsel özelliklere sahiptir fakat bu derste bunları kullanmayacağımız.

İspat: $A$ matrisi $n-$boyutlu bir kare matris ise karakteristik matrisi $C$ de $n-$boyutlu olur. Bundan dolayı ${\rm Adj}\,C$ matrisinde bulunan polinomların derecesi en fazla $n-1$ olmalıdır. Yani Uyarı 3.4.1 ile örneklendiği gibi bu matris $n-1$'inci dereceden ve matris katsayılı bir polinoma \begin{equation} \label{eq:det:7} \tag{3.4.1} {\rm Adj}\,C=C_{n-1}t^{n-1}+C_{n-2}t^{n-2}+\cdots+C_1t+C_0 \end{equation} biçiminde açılabilir, burada $C_i$ matrislerinin tüm elemanları skalerdir. $A$'nın karakteristik denklemi $f(t)=k_nt^n+\cdots+k_1t+k_0$ ile gösterilirse Teorem 3.3.8 gereği $${\rm Adj}\,C\cdot C=\det C\cdot I=f(t)\cdot I$$ eşitliği sağlanır. Diğer yandan $${\rm Adj}\,C\cdot C={\rm Adj}\,C\cdot \left(A-tI\right)=\left( {\rm Adj}\,C \right)A-\left({\rm Adj}\,C\right)t$$ eşitliği de sağlanacağından bu son iki eşitlikle birlikte \eqref{eq:det:7} eşitliği kullanılırsa \begin{eqnarray} k_nIt^n+k_{n-1}It^{n-1}+\cdots+k_1It+k_0&=&-C_{n-1}t^n-C_{n-1}t^{n-1}-\cdots-C_1t^2-C_0t\notag\\ &&\qquad + C_{n-1}At^{n-1}+\cdots+C_1At+C_0A\tag{3.4.2}\label{eq:det:8} \end{eqnarray} eşitliği elde edilir. Bu eşitliğin her iki tarafı da $n\times n$ boyutlu polinomsal matrisler olduğundan karşılıklı katsayıların eşit olması gerekir. Bundan dolayı \eqref{eq:det:8} eşitliği \begin{eqnarray*} k_nI &=& -C_{n-1}\\ k_{n-1}I&=& -C_{n-1}+C_{n-1}A\\ k_{n-2}&=& -C_{n-3}+C_{n-2}A\\ &\vdots&\\ k_{1}I&=&-C_0+C_1A\\ k_{0}I&=&\qquad\quad C_0A \end{eqnarray*} eşitliklerine denktir. Bu eşitlikler sırasıyla $A^n, A^{n-1},\ldots, A, I$ matrisleriyle sağdan çarpılıp taraf tarafa toplanırsa $$k_nA^n+k_{n-1}A^{n-1}+\cdots+k_1A+k_0I=0$$ eşitliği elde edilir.$$\tag*{$\blacksquare$}$$

İspat: Minimal polinom ve herhangi bir $g(t)$ polinomu için bölme işlemi sonucu olarak $g(t)=m(t)q(t)+r(t)$ bağıntısı sağlanır. Burada $q(t)$ bir polinom ve $r(t)$ de kalan polinomdur, bu kalan polinom ya özdeş olarak sıfırdır ya da derecesi $m(t)$'den küçük olan bir polinomdur. Eğer $g(A)=0$ ise $g(A)=0=m(A)q(A)+r(A)=r(A)$ olur, yani kalan polinom özdeş olarak sıfırdır. Birden fazla minimal polinom varsa bunların hepsi aynı dereceden olur ve hepsi birbirin böler, dolayısıyla bunlar birbirinin sabit katı olmalıdır.

İspat: ${\rm Adj}\,C=g(t)B$ olsun, burada $B$ matrisi elemanlarının skaler olmayan ortak çarpanları yoktur. Teorem 3.3.8 gereği ${\rm Adj},C\cdot C=f(t)I$ olduğundan $h(t)g(t)I=g(t)BC$, buradan da $g(t)\neq0$ olduğundan $BC=h(t)I$ eşitliği elde edilir. Şimdi Hamilton-Cayley teoremi ispatındaki adımları ${\rm Adj}\,C$ yerine $B$ kullanarak uygulanırsa $h(A)=0$ olduğu görülür ve dolayısıyla Teorem 3.4.7 gereği $m(t)$ minimal polinomu $h(t)$ polinomunu böler.$$\tag*{$\blacksquare$}$$

Diğer taraftan, $t$ ve $z$ değişkenlerinin $m(t)-m(z)$ polinomunu ele alalım, bunun terimleri $c_i(t^i-z^i)$ biçimindedir ve bunlar $(z-t)$ ile bölünür. Dolayısıyla $m(t)-m(z)$ polinomu $(z-t)$ ile bölünür ve $m(t)-m(z)=(z-t)k(t,z)$ eşitliği sağlanacak şekilde iki terimli $k(t,z)$ polinpmu vardır. Bu eşitlikte $t$ ve $z$ yerine sırasıyla $tI$ ve $A$ yazılırsa \begin{equation} \label{eq:det:9} \tag{3.4.3} m(tI)-m(A)=m(t)I=(A-tI)k(tI,A)=C\cdot k(tI,A) \end{equation} olur, bu eşitlik ${\rm Adj}\,C$ ile çarpılırsa $$m(t){\rm Adj}\,C={\rm Adj}\,C\cdot C\cdot k(tI,A)=f(t)k(tI,A)$$ elde edilir. Burada ${\rm Adj}\,C=g(t)B$ ve $h(t)=f(t)/g(t)$ olduğu kullanılırsa $m(t)g(t)B=h(t)g(t)k(tI,A)$, yani $$m(t)B=h(t)k(tI,A)$$ eşitliğine varılır, dolayısıyla $h(t)$ polinomu $m(t)$ polinomunu böler. Sonuç olarak $h(t)$ ve $m(t)$ polinomları birbirinden sabit bir çarpanla ayrılabilir.$$\tag*{$\blacksquare$}$$

İspat: Teorem 3.4.9 ispatında \eqref{eq:det:9} eşitliğinde $m(t)I=C\cdot k(tI,A)$ olduğu gösterildi. Buradan hareketle $\det m(t)I=m(t)^n=\det C\cdot \det k(tI, A)=f(t)\cdot\det k(tI,A)$ elde edilir. Yani $f(t)$ polinomunun her indirgenemez çarpanı $[m(t)]^n$ polinomunu böler, dolayısıyla $m(t)$ polinomunu da böler.$$\tag*{$\blacksquare$}$$

Alıştırmalar

1. Aşağıdaki matrislerin karakteristik polinomlarını tespit edin. $$ \left[\begin{array}{rrr}0&0&-70\\1&0&19\\0&1&0\end{array}\right],\quad\left[\begin{array}{rrr}2&-2&3\\1&1&1\\1&3&-1\end{array}\right] $$
2. Aşağıdaki matris için minimal polinom bulun. $$\left[\begin{array}{rrr}3&2&2\\1&4&1\\-2&-4&-1\end{array}\right]$$
3. Bir minimal denklemi $t^4+3t^3+2t^2-t+6=0$ olan bir matris belirleyin.
4. Bir $A$ matrisi $t^2+t+1=0$ denklemini sağlıyorsa tersinirdir, gösterin. Ayrıca tersini $A$ ve $I$ cinsinden belirleyin.
5. Elemanları reel olan ve $3\times 3$ boyutlu hiçbir matris $t^2+1=0$ denklemini sağlamaz. Reel değerli $2\times 2$ boyutlu matrisler veya kompleks değerli $3\times3$ boyutlu matrisler bu denklemi sağlayabilir. Bunların sebeplerini açıklayın.