3.5. Özdeğerler ve Özvektörler

$V$'den $V$'ye tanımlı bir $\sigma$ lineer dönüşümünü ele alalım, $\sigma$ dönüşümünün yine lineer olduğu $V$'nin alt uzaylarını bulmak bazı durumlarda kolaylık sağlar. Eğer $W$ böyle bir alt uzay ise $\sigma\left(W\right)\subset W$ olur, bu özellikteki alt uzaylara $V$'nin $\sigma$ dönüşümüne göre invaryant alt uzayları denir. Çoğu zaman $\sigma$ dönüşümünün $V$ üzerindeki özelliklerini belirleme problemi, onun invaryant alt uzaylardaki özelliklerini belirleme problemine indirgenebilir.

En basit ve en kısıtlı durum $W$ invaryant alt uzayının $1-$boyutlu olması durumudur. Böyle bir durumda varsayalım ki $\{\alpha_1\}$ bir baz olsun, bu durumda $\sigma\left(\alpha_1\right)\in W$ olduğundan $\sigma\left(\alpha_1\right)=\lambda_1\alpha_1$ olacak şekilde bir $\lambda_1$ skaleri vardır. Diğer yandan her $\alpha\in W$ vektörü için $\alpha=a_1\alpha_1$ olacak şekilde bir $a_1$ skaleri vardır, buradan hareketle $\sigma\left(\alpha\right)=\sigma\left(a_1\alpha_1\right)=a_1\sigma\left(\alpha_1\right)=a_1\lambda_1\alpha_1=\lambda_1\alpha$ elde edilir. Yani $\sigma$ dönüşümü $W$ invaryant alt uzayındaki her vektörü $\lambda_1$ skaleri ile genişletir, bu anlamda $\lambda_1$ skaleri $W$ uzayını karakterize eder.

İspat: Uyarı 2.1.6 ile verilen notasyonu hatırlayın, \eqref{eq:det:10} özdeğer problemi $\left(\sigma-\lambda\right)\xi=0$ biçiminde yazılabilir. Uyarı 2.7.5 gereği bu homojen problemin sıfırdan farklı bir çözümünün var olması için gerek ve yeter koşul $\sigma-\lambda$ dönüşümünün singüler olmasıdır. Şimdi $A:=\{\alpha_1,\ldots\alpha_n\}$ kümesi $V$'nin herhangi bir bazı ve $A:=\left[a_{ij}\right]$ de bu baza göre $\sigma$ dönüşümünü temsil eden matris olsun. Bu durumda $A-\lambda I$ matrisi $\sigma-\lambda$ dönüşümünü temsil eder ve bu dönüşümün singüler olması için gerek ve yeter koşul Teorem 3.2.11 gereği $\det\left(A-\lambda I\right)=0$ olmasıdır.$$\tag*{$\blacksquare$}$$

İspat: Bu sonuç Uyarı 2.4.9 ile verilen benzerlik tanımı gereği açıktır.$$\tag*{$\blacksquare$}$$

İspat: $A$ ile $A':=P^{-1}AP$ matrisleri benzer olsun, bu durumda Uyarı 2.4.9 ve Teorem 3.2.12 gereği \begin{eqnarray*} \det\left(A'-tI\right)&=&\det\left(P^{-1}AP-tI\right)\\ &=&\det\left(P^{-1}AP-P^{-1}tIP\right)\\ &=&\det\left\{P^{-1}\left(A-tI\right)P \right\}\\ &=&\det P^{-1}\cdot\det\left(A-tI\right)\cdot\det P\\ &=&\det\left(A-tI\right)\\ &=&f(t) \end{eqnarray*} elde edilir.$$\tag*{$\blacksquare$}$$

İspat: Bir $\sigma$ dönüşümünü temsil eden her matris için geometrik katlılık aynı olacağından özel bir matris seçimi için kanıt yapmak yeterlidir. $S(\lambda)$ uzayının boyutu $k$ olsun ve $\{\xi_1,\ldots,\xi_k\}$ kümesi bunun bir bazı olsun. Bu lineer bağımsız kümeyi $V$'nin bir $\{\xi_1,\ldots,\xi_n \}$ bazına genişletelim. $i\leq k$ için $\sigma\left(\xi_i\right)=\lambda\xi_i$ olduğundan bu bazlara göre $\sigma$ dönüşümünü temsil eden matris $$A:= \left[\begin{array}{ccccccc} \lambda&0&\cdots&0&a_{1,k+1}&\cdots&a_{1,n}\\ 0&\lambda&\cdots&0&a_{2,k+1}&\cdots&a_{2,n}\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots&\vdots&\vdots&\vdots\\ 0&0&\cdots&\lambda&a_{k,k+1}&\cdots&a_{k,n}\\ 0&0&\cdots&0&a_{k+1,k+1}&\cdots&a_{k+1,n}\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots&\vdots&\vdots&\vdots\\ 0&0&\cdots&0&a_{n,k+1}&\cdots&a_{n,n}\\ \end{array}\right] $$ biçiminde olur. Matrisin yapısından $\det\left(A-tI\right)=f(t)$ polinomunun $(t-\lambda)^k$ ile bölüneceği açıktır. Dolaysıyla cebirsel katlılık en az $k$ sayısı olmalıdır.$$\tag*{$\blacksquare$}$$

İspat: Bu kümenin lineer bağımlı olduğunu kabul edelim, ayrıca ilk $k$ tanesi lineer bağımsız ve kalan $r-k$ tanesi bunlarla lineer bağımlı olacak şekilde kümedeki özvektörleri yeniden sıralayalım. Bu durumda $\xi_r=\sum_{i=1}^{k}a_i\xi_i$ olacak şekilde hepsi birden sıfır olmayan tek türlü $a_i$ skalerleri vardır. Bu eşitliğin her iki tarafına $\sigma$ dönüşümü uygulanırsa $\lambda\xi_r=\sum_{i=1}^{k}a_i\lambda_i\xi_i$ eld edilir. Eğer $\lambda_r=0$ ise $i\leq k$ için hiçbir $\lambda_i$ özdeğeri sıfır olamaz, çünkü tüm özdeğerler farklıdır. Fakat bu durumda $\{\xi_1,\ldots,\xi_k \}$ kümesinin lineer bağımlı olduğu sonucu çıkar ve bu bir çelişkidir. Eğer $\lambda_r\neq 0$ ise $\xi_r=\sum_{i=1}^{k}a_i(\lambda_i/\lambda_r)\xi_i$ eşitliğini yazabiliriz. Her $i$ indisi için $a_i\neq0$ ve $\lambda_i/\lambda_r\neq1$ olduğundan $\xi_r$ vektörünün farklı bir açılımına ulaşılmış olur, bu bir çelişkidir çünkü bu açılım tek türlüdür. Sonuç olarak $\{\xi_1,\ldots,\xi_r \}$ vektörüleri lineer bağımsız olmalıdır.$$\tag*{$\blacksquare$}$$

Alıştırmalar

1. $\lambda=0$ sayısının bir $A$ matrisinin bir özdeğeri olması için gerek ve yeter koşul $A$'nın singüler olmasıdır, kanıtlayın.
2. Bir $\xi$ vektörü hem $\sigma$ hem de $\tau$ dönüşümünün bir özvektörü ise $\sigma+\tau$ ve $a\sigma$ dönüşümünün de bir özvektörüdür, gösterin ($a\in F$).
3. $\lambda_1$ ve $\lambda_2$ sayıları sırasıyla $\sigma$ ve $\tau$ dönüşümlerinin aynı özvektöre karşılık gelen birer özdeğeri ise $\lambda_1+\lambda_2$ sayısı $\sigma+\tau$ dönüşümünün bir özdeğeridir, gösterin. Bunlar farklı özvektörlere karşılık ise bu durumun sağlanmayacağını gösteren bir örnek verin.
4. $\sigma$ tersinir bir dönüşüm ve $\lambda$ sayısı bunun bir özdeğer ise $\lambda^{-1}$ sayısı da $\sigma^{-1}$ dönüşümünün bir özdeğeridir, kanıtlayın.
5. Aşağıdaki matrislerin özdeğer ve özvektörlerini hesaplayın. $$ \left[\begin{array}{rrr}4&9&0\\0&-2&8\\0&0&7\end{array}\right]\qquad\left[\begin{array}{rrr}7&4&-4\\4&-8&-1\\-4&-1&-8\end{array}\right]\qquad\left[\begin{array}{rrr}3&2&2\\1&4&1\\-2&-4&-1\end{array}\right] $$