İntegralinin Türevi Yoğun Bir Kümede Kendisinden Farklı Olan Bir Fonksiyon

$f$ fonksiyonu $$f(x):=\left\{\begin{array}{rl} \frac{1}{q},\quad & x=\frac{p}{q}\;\text{en sade halde }(p,q\in\mathbb{N}),\\ 0,\quad & x\;\text{ irrasyonel ise.} \end{array} \right.$$ olarak tanımlansın. Bu fonksiyon için $$\int_1^2f(x)dx=0$$ olduğunu şu örnekte açıklamıştım.

Şimdi $$g(x):=\int_0^xf(x)\,dx$$ fonksiyonunu tanımlayalım, bu durumda her yerde $g(x)\equiv 0$ ve dolayısıyla $g'(x)\equiv0$ olur. Sonuç olarak $x\in\mathbb{Q}$ için $g'(x)\neq f(x)$ olur.