İntegrallenebilir Fonksiyonların Limiti İntegrallenemeyen Bir Dizisi

$\mathbb{N}$ ile $[0,1]$ aralığındaki rasyonel sayılar arasında birebir eşleme oluşturan bir $\{r_n\}$ dizisini ele alalım ve $$f_n(x):= \begin{cases} 1, & x=r_1, r_2,\ldots,\textrm{ veya }r_n\textrm{ ise}\\ 0, & \textrm{diğer durumlarda} \end{cases} $$ fonksiyonlarını tanımlayalım.

Bu fonksiyonların her biri açıkça sınırlıdır ve sonlu sayıda süreksizlik noktasına sahiptir ($n$ tane). Dolayısıyla her bir $f_n$ fonksiyonu Riemann anlamında integrallenebilirdir.

Diğer yandan $\{f_n(x)\}$ dizisinin limiti $$g:= \begin{cases} 1, & x\in \mathbb{Q}\cap [0,1]\\ 0, & x\not\in \mathbb{Q}\cap [0,1]\\ \end{cases} $$ fonksiyonudur ve bunun integrallanebilir olmadığını şu örnekte açıklamıştım.