Sınırlı Olan Fakat Kompakt Bir Kümede Yerel Ekstremuma Sahip Olmayan Bir Fonksiyon
Kayıt Tarihi:
Bildiğiniz gibi kompakt bir aralıkta sürekli olan bir fonksiyon bu aralıkta mutlak ekstremum değerlerine sahiptir, sınırlı bile olsa süreklilik olmadan her fonksiyon bu özelliği sağlamaz. Yerel ekstremumlar için bu durum daha karmaşıktır, bu örnekte kompakt bir kümede yerel esktremumu var olmayan fakat sınırlı olan bir fonksiyon tanımlayacağız.
Anahtar Kelimeler: ekstremum · süreklilik$x\in[0,1]$ için tanımlanmış olan $$ f(x):= \left\{ \begin{array}{cl} \frac{(-1)^nn}{n+1},&x\in\mathbb{Q}\text{ ve } n>0 \text{ olmak üzere } x=\frac{m}{n} \text{ en sade halde}\\ 0,& x\not\in\mathbb{Q} \end{array} \right. $$ fonksiyonunu ele alalım. $[0,1]$ kompakt aralığındaki her $x$ noktasının her komşuluğunda $f(x)$ değeri $1$ ve $-1$ sayılarına salınarak yaklaşır ve hep bunların arasında kalır.
Kaynak:
B. R. Gelbaum, J. M. H. Olmsted. Counterexamples in Analysis, Dover Publications, Inc., New York, 1992.