Limitlerinin Sırası Değiştirilemeyen Diziler

Her $n\in\mathbb{N}$ için tüm reel sayılarda sürekli olan $$f_n(x):=\frac{x}{x+n}$$ fonksiyonlarının dizisini ele alalım. $$\lim\limits_{n\to\infty}\left(\lim\limits_{x\to\infty}\frac{x}{x+n}\right)=1$$ ve $$\lim\limits_{x\to\infty}\left(\lim\limits_{n\to\infty}\frac{x}{x+n}\right)=0$$ oldukları kolaylıkla doğrulanabilir.

Başka bir örnek olarak $n\in\mathbb{N}$ ve $x\in(0,1)$ için $$g_n(x):=\frac{n^2x^2-1}{n^2x^2+1}$$ fonksiyonlarını düşünün, bu durumda $$\lim\limits_{n\to\infty} \lim\limits_{x\to0^+}g_n(x)=-1$$ ve $$\lim\limits_{x\to0^+} \lim\limits_{n\to\infty}g_n(x) =1$$ oldukları görülebilir.

Bunların sebebi yakınsamanın düzgün olmamasıdır, düzgün yakınsak dizilerde böyle durumlar oluşmaz.