L’Hospital Kuralının Uygulanamadığı Limit Örnekleri

$f$ ve $g$ fonksiyonları bir $x_0$ sayısının bir delinmiş komşuluğunda türevlenebilir olsun ve bu komşuluktaki her $x$ için $g(x)\neq 0$ ve $g’(x)\neq0$ olsun. Ayrıca $$\lim\limits_{x\to x_0}f(x)= \lim\limits_{x\to x_0}g(x)=0\quad\textrm{veya}\quad \lim\limits_{x\to x_0}\lvert g(x) \rvert=\infty $$ olsun. Bu durumda eğer $$\lim\limits_{x\to x_0}\frac{f’(x)}{g’(x)}=L$$ limiti mevcutsa $$\lim\limits_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g(x)}= \lim\limits_{x\to x_0}\frac{f’(x)}{g’(x)}=L $$ eşitliği sağlanır. Bu teorem $x_0$ yerine $x_0^-, x_0^+, -\infty,$ veya $\infty$ yazıldığında ve $L$ yerine $-\infty$ veya $\infty$ yazıldığında da geçerlidir, limit tek taraflı ise bahsedilen komşuluk da aynı yönde yarım komşuluk olarak kabul edilmelidir.

L’Hospital teoremi olarak bilinen bu kuralı uygulamadan önce koşulların sağlandığı doğrulanmalıdır. Örneğin $$\lim\limits_{x\to 0^-}\frac{\ln x}{x}= \lim\limits_{x\to 0^-}\frac{1}{x}=\infty $$ hesabı yanlıştır çünkü $g(x)=\ln x$ fonksiyonu $x_0=0$ noktasının hiç bir delinmiş sol komşuluğunda türevlenebilir değildir. Benzer şekilde $$\lim\limits_{x\to 0}\frac{x+12}{2x+3}= \lim\limits_{x\to 0}\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$$ hesabı da yanlıştır, burada pay ile paydanın limitleri aynı anda sıfır olmuyor ve paydanın limiti sonsuz değil. Başka bir örnek olarak $$\lim\limits_{x\to \infty}\frac{x+\sin x}{x-\sin x}= \lim\limits_{x\to \infty}\frac{1+\cos x}{1-\cos x} $$ hesaplaması incelenebilir, burada son elde edilen limit ıraksaktır.

İlginç bir durum da $$f(x)=\frac{x}{2}+\frac{\sin 2x}{4}\quad\textrm{ve}\quad g(x)=\left( \frac{x}{2}+\frac{\sin 2x}{4} \right)\cdot\textrm{e}^{\sin x}$$ alındığında oluşur. Bu durumda $\lim\limits_{x\to \infty}\left( f’(x)/g’(x) \right)$ limiti mevcuttur fakat $\lim\limits_{x\to \infty}\left( f(x)/g(x) \right)$ limiti mevcut değildir. Bu durum L’Hospital teoremi ile çelişmez çünkü $\infty$‘un her komşuluğunda $g’$ fonksiyonunun sıfırı vardır, yani zaten teoremin koşulları sağlanmıyor.