Her Yerde Sürekli olan Fakat Hiç Bir Yerde Türevlenemeyen Fonksiyon

Biliyoruz ki bir fonksiyon türevlenebiliyorsa süreklidir, bu sonucun tersi doğru değildir; örneğin $f(x):=|x|$ fonksiyonu tüm reel sayılarda süreklidir fakat $x_0=0$ noktasında türevlenemez. Gerçekten $$\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{|x|-|0|}{x-0}=\lim\limits_{x\rightarrow0}\frac{|x|}{x}$$ limiti mevcut değildir. Mutlak değer fonksiyonu üzerinde cebirsel işlemler kullanarak sürekli olan fakat bir çok noktada türevlenemeyen fonksiyonlar inşa edilebilir. Hatta 1872 yılında Weierstrass, tüm reel sayılarda sürekli olan fakat hiçbir reel sayıda türevlenebilir olmayan $$f(x):=\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2^n}\cos(3^nx)$$ fonksiyonunu inşa etti. Weierstrass'ın bu meşhur fonksiyonundan sonra her yerde sürekli olup hiçbir yerde türevlenemeyen başka fonksiyonlar da bulundu.