Ekstremum Noktasının Komşuluğunda Birinci Türevi İşaret Değiştirmeyen Fonksiyon

$f$ fonksiyonu bir $I:=[a,b]$ aralığında sürekli olsun. Ayrıca $c\in(a,b)$ olmak üzere $f$ fonksiyonu $(a,c)$ ve $(c,b)$ aralıklarında türevlenebilir olsun. Bu durumda her $x\in(c-\delta,c)$ için $f'(x)\geq0$ ve her $x\in(c,c+\delta)$ için $f'(x)\leq0$ olacak şekilde $c$ noktasının bir $(c-\delta,c+\delta)\subseteq I$ komşuluğu varsa $f$ fonksiyonu $c$ noktasında bir yerel maksimuma sahiptir, benzer bir sonuç da minimum noktası için vardır.

İkinci türev testi olarak bilinen sonucun tersi doğru değildir. Örneğin $$f(x):=\left\{ \begin{array}{ll} x^4(2+\sin(1/x)),\quad&x\neq0\text{ ise }\\0,\quad&x=0\text{ ise.} \end{array} \right.$$ olarak tanımlanan ve türevlenebilir olan fonksiyon her $x\neq0$ için $f(x)>0$ olduğundan $x=0$ noktasında bir mutlak minimuma sahiptir. Diğer yandan $x=0$ noktasının her komşuluğunun her iki tarafında da $f'(x)$ türevinin hem negatif hem de pozitif değerler aldığı gösterilebilir.