Ara Değer Özelliğini Sağlayan Fakat Toplamları Sağlamayan Fonksiyonlar

Bir $[a,b]$ aralığında sürekli olan herhangi iki fonksiyonun toplamı bu aralıkta ara değer özelliğine sahiptir, fakat süreklilik kaldırılırsa bu sağlanmayabilir. Hatta iki fonksiyon ara değer özelliğine sahip olsa bile süreklilik olmadan toplamları bu özelliğe sahip olmayabilir, şimdi bu duruma bir örnek verelim.

Öncelikle $$ \phi(x):= \left\{ \begin{array}{ll} x^2\sin\frac{1}{x},&x\neq0\\ 0,&x=0 \end{array} \right. $$ ve $$ \phi(x):= \left\{ \begin{array}{ll} x^2\cos\frac{1}{x},&x\neq0\\ 0,&x=0 \end{array} \right. $$ olarak tanımlayalım. Bu durumda $$ \phi'(x):= \left\{ \begin{array}{ll} 2x\sin\frac{1}{x}-\cos\frac{1}{x},&x\neq0\\ 0,&x=0 \end{array} \right. $$ ve $$ \psi'(x):= \left\{ \begin{array}{ll} 2x\cos\frac{1}{x}+\sin\frac{1}{x},&x\neq0\\ 0,&x=0 \end{array} \right. $$ olur.

Şimdi $f(x)=[\phi'(x)]^2$ ve $g(x)=[\psi'(x)]^2$ fonksiyonlarını tanımlayalım. Darboux teoremi olarak bilinen sonuca göre bir $[a,b]$ aralığının her noktasında türevi var olan bir fonksiyon bu aralıkta ara değer özelliğine sahiptir, dolayısıyla $f$ ve $g$ fonksiyonları bu özelliğe böyle bir aralıkta sahiptir. Diğer yandan $$ (f+g)(x):= \left\{ \begin{array}{ll} 4x^2+1,&x\neq0\\ 0,&x=0 \end{array} \right. $$ olduğundan açık bir şekilde $f+g$ fonksiyonu $0$ noktasını içeren hiç bir aralıkta ara değer özelliğine sahip değildir.