8. LaTeX ve Matematik

Matematiksel yazım ile ilgili en gerekli bilgilerin tamamını bu sayfada özetleyeceğim, böyle daha kullanışlı olacağını düşünüyorum. Bu dersten itibaren gerekmedikçe örneklerde artık uzun uzun sahanlık kısmını yazmayacağız, önceki örneklerde tipik bir sahanlığın neler içermesi gerektiğini öğrendiniz.

Giriş

LaTeX'te matematiksel denklemler satır içi (inline) ya da ortaya hizalı (display) olarak yazılabilir. Satır içi denklemler yeni satıra geçilmeden girildiği yerde gösterilir, ortaya hizalı denklemler girildiğinde ise satır orada bitirilip ilgili denklem yeni bir satırda ortaya hizalı biçimde gösterildikten sonra metin yeni bir satırdan devam eder.

Satır içi denklem girmek için denklem komutları metnin içinde $...$ karakterleri arasında yazılmalıdır. Örneğin metin içinde $y=x^2+1$ yazılırsa çıktısı $y=x^2+1$ şeklinde olur.

Satır içi denklemler $...$ karakterleri yerine alternatif olarak \(...\) veya \begin{math}...\end{math} arasında da girilebilir, \(y=x^2+1\) veya \begin{math}y=x^2+1\end{math} gibi.

Ortaya hizalı denklemler $$...$$ karakterleri arasında girilebilir. Örnek olarak $$y=x^2+1$$ girilirse bunun döküman içinde çıktısı $$y=x^2+1$$ biçiminde olur. Ortaya hizalı denklemler $$...$$ yerine alternatif olarak \[...\] veya \begin{displaymath} ile \end{displaymath} arasında da girilebilir.

Ortaya hizalı denklem girmenin bir yolu da denklemleri equation ortamı içinde girmektir. Fakat bu şekilde girilen ortaya hizalı denklemler LaTeX tarafından numaralandırılır. Örneğin metin içinde

\begin{equation}
y=x^2+1
\end{equation}

girilirse dokümanda bunun çıktısı \begin{equation} y=x^2+1 \end{equation} biçiminde olur. equation yerine amsmath paketi tarafından sağlanan equation* ortamı kullanılırsa numaralandırılma yapılmaz.

Alt ve Üst İndisler

Matematik modlarında (inline veya display) alt ve üst karakterler sırasıyla _ ve ^ karakterleri yardımıyla girilir. Örneğin metin içinde $$(a_1+a_2)^2=a_1^2+2a_1a_2+a_2^2$$ yazılırsa belgede $$(a_1+a_2)^2=a_1^2+2a_1a_2+a_2^2$$ çıktısı elde edilir.

Dikkat edildiği gibi _ ve ^ karakterleri, sadece kendisinden sonra gelen ilk karakteri alt veya üst metin yapar. Eğer daha fazla karakter alt veya üst metin yapılacaksa bunlar {...} parantezleri arasında yazılmalıdır.

Örneğin $x^{2n}=y_{2n}-z_{n_{k+1}}$ komutu $$x^{2n}=y_{2n}-z_{n_{k+1}}$$ yazdırır.

İşlemler ve Fonksiyonlar

Matematik modunda +, -, / gibi işlemler doğrudan klavye ile girilir. Bunların dışında kesirler \frac{pay}{payda} komutu ile girilir.

Örneğin $$\frac{2}{3}$$, $$\frac{3n-1}{n!}$$ ve $$1-\frac{1}{2-\frac{1}{3-\frac{1}{4-x}}}$$ komutlar sırasıyla $$\frac{2}{3},\qquad\qquad \frac{3n-1}{n!},\qquad\qquad 1-\frac{1}{2-\frac{1}{3-\frac{1}{4-x}}}$$ çıktılarını üretir.

Trigonometrik, logaritmik, üstel, vb fonksiyonlar için \sin, \cos, \tan, \cot, \arcsin, \arctan, \exp, \log, \ln gibi komutlar kullanılır. Örneğin \sin^2(x)=\frac{1-\cos(2x)}{2}: $$\sin^2(x)=\frac{1-\cos(2x)}{2}$$

Operatörler

İntegral işareti \int komutuyla girilir, sınırlar ise alt ve üst indis olarak belirtilir. Katlı ve eğrisel integraller \iint, \iiint, \iiiint, \oint, \oiint komutlarıyla girilir. Örneğin $$\int_{0}^{2k}\sin(x)dx$$, $$\iint_Rf(x,y)dxdy$$ ve $$\oint_Af(z)dz$$ komutları $$\int_{0}^{2k}\sin(x)dx,\quad\iint_Rf(x,y)dxdy,\quad\oint_Af(z)dz$$ çıktısını üretir.

İntegral elemanı $dx$ terimi ile integrand arasında küçük bir boşluk bırakılabilir, bunun için \,dx kullanılabilir. Bu terim daha uygun biçimde \,\mathrm{d}x olarak yazılabilir: $\,\mathrm{d}x$.

Limit, toplam ve çarpım sembolleri sırasıyla \lim, \sum ve \prod komutlarıyla girilir. Sınırlar yine alt ve üst indis olarak belirtilir. Örnek olarak \lim_{n\rightarrow\infty} f(x_n), \sum_{k=1}^{n}\frac{1}{n^2}=\frac{\pi^2}{6} ve \prod_{k=1}^{\infty}\frac{k}{k+1} komutları ile $$\lim_{n\rightarrow\infty} f(x_n),\qquad\qquad \sum_{k=1}^{n}\frac{1}{n^2}=\frac{\pi^2}{6},\qquad\qquad \prod_{k=1}^{\infty}\frac{k}{k+1}$$ yazılır. Örnekte de görüldüğü gibi $\rightarrow$, $\infty$ ve $\pi$ sembolleri sırasıyla \rightarrow, \infty ve \pi komutlarıyla yazılır.

Parantezler

$(a+b)$, $[a+b]$ ve $|a+b|$ biçimindeki parantezler doğrudan klavye ile girilebilir, $\{a+b\}$, $\langle a+b \rangle$ ve $\|a+b\|$ biçimindeki parantezler ise $\{a+b\}$, $\langle a+b \rangle$ ve $\|a+b\|$ komutları kullanılır. Parantezlerin içeriğine göre otomatik olarak boyutlandırılması için önlerine \left ve \right komutları eklenmelidir. Parantezlerden birisi silinmek istenirse diğer tarafta parantez yerine nokta konulur. Örneğin $$\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n=e$$ ve $$\left.\frac{f(x)}{g(x)}\right|_{x=a}$$ komutları aşağıdakileri yazar. $$\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n=e,\qquad \left.\frac{f(x)}{g(x)}\right|_{x=a}$$

Sık Kullanılan Semboller

Aşağıdaki tabloda Yunan alfabesi harfleri için kullanabileceğiniz kontrol dizilerini bulabilirsiniz, matematikçiler bu harfleri sever.

\begin{array}{ll|ll} \mathrm{Harf} & \mathrm{Komut} & \mathrm{Harf} & \mathrm{Komut}\\ \hline \alpha & \color{green}\verb|\alpha| & \beta & \color{green}\verb|\beta|\\ \gamma, \Gamma & \color{green}\verb|\gamma|, \color{green}\verb|\Gamma| & \delta, \Delta & \color{green}\verb|\delta|, \color{green}\verb|\Delta|\\ \epsilon, \varepsilon&\color{green}\verb|\epsilon|, \color{green}\verb|\varepsilon|&\zeta&\color{green}\verb|\zeta|\\ \eta&\color{green}\verb|\eta|&\theta, \Theta&\color{green}\verb|\theta|, \color{green}\verb|\Theta|\\ \kappa&\color{green}\verb|\kappa|&\lambda,\Lambda&\color{green}\verb|\lambda|, \color{green}\verb|\Lambda|\\ \mu&\color{green}\verb|\mu|&\nu&\color{green}\verb|\nu|\\ \xi, \Xi&\color{green}\verb|\xi|, \color{green}\verb|\Xi|&\pi, \Pi&\color{green}\verb|\pi|, \color{green}\verb|\Pi|\\ \rho, \varrho&\color{green}\verb|\rho|, \color{green}\verb|\varrho|&\sigma, \Sigma&\color{green}\verb|\sigma|, \color{green}\verb|\Sigma|\\ \tau&\color{green}\verb|\tau|&\phi, \varphi, \Phi&\color{green}\verb|\phi|, \color{green}\verb|\varphi|, \color{green}\verb|\Phi|\\ \chi&\color{green}\verb|\chi|&\psi, \Psi&\color{green}\verb|\psi|, \color{green}\verb|\Psi|\\ \hline \end{array}

Aşağıdaki tabloda ise sık kullanılan ok işaretleri için kontrol dizileri yer alıyor.

\begin{array}{cl|cl} \mathrm{Sembol} & \mathrm{Komut} & \mathrm{Sembol} & \mathrm{Komut}\\ \hline \leftarrow&\color{green}\verb|\leftarrow|&\Leftarrow&\color{green}\verb|\Leftarrow|\\ \rightarrow&\color{green}\verb|\rightarrow|&\Rightarrow&\color{green}\verb|\Rightarrow|\\ \leftrightarrow&\color{green}\verb|\leftrightarrow|&\Leftrightarrow&\color{green}\verb|\Leftrightarrow|\\ \uparrow&\color{green}\verb|\uparrow|&\Uparrow&\color{green}\verb|\Uparrow|\\ \downarrow&\color{green}\verb|\downarrow|&\Downarrow&\color{green}\verb|\Downarrow|\\ \Updownarrow&\color{green}\verb|\Updownarrow|&\mapsto&\color{green}\verb|\mapsto|\\ \hline \end{array}

Aşağıdaki tabloda diğer bazı sık kullanacağınız sembolleri bulabilirsiniz, $*$ ile işaretlenmiş olanları kullanabilmek için amssymb paketini yüklemeniz gerekir.

\begin{array}{cl|cl} \mathrm{Sembol} & \mathrm{Komut} & \mathrm{Sembol} & \mathrm{Komut}\\ \hline \leq&\color{green}\verb|\leq|&\geq&\color{green}\verb|\geq|\\ \wedge&\color{green}\verb|\wedge|&\vee&\color{green}\verb|\vee|\\ \cap&\color{green}\verb|\cap|&\cup&\color{green}\verb|\cup|\\ \times&\color{green}\verb|\times|&\div&\color{green}\verb|\div|\\ \oplus&\color{green}\verb|\oplus|&\otimes&\color{green}\verb|\otimes|\\ \equiv&\color{green}\verb|\equiv|&\approx&\color{green}\verb|\approx|\\ \in&\color{green}\verb|\in|&\notin&\color{green}\verb|\notin|\\ \infty&\color{green}\verb|\infty|&\forall&\color{green}\verb|\forall|\\ \nabla&\color{green}\verb|\nabla|&\exists&\color{green}\verb|\exists|\\ \partial&\color{green}\verb|\partial|&\emptyset&\color{green}\verb|\emptyset|\\ \mathcal{A}, \mathcal{B}, \mathcal{C}&{\color{green}\verb|\mathcal{A,B,C}|}*&\mathfrak{A}, \mathfrak{B}, \mathfrak{C}&{\color{green}\verb|\mathfrak{A,B,C}|}*\\ \mathbb{N}, \mathbb{Z}, \mathbb{R}&{\color{green}\verb|\mathbb{N,Z,R}|}*&\mathfrak{x}, \mathfrak{y}, \mathfrak{z}&{\color{green}\verb|\mathfrak{x,y,z}|}*\\ \hline \end{array}

Formüllerde Hizalama

Uzun bir denklem parçalara bölünmek istenirse bu parçaların hizalanma işlemi eqnarray ortamı ile yapılabilir. Bu ortamda hizalama hangi bölüme göre yapılacaksa bunlar &...& karakterleri arasına yazılır. Ayrıca her satır sonunda \\ karakteri yazılmalıdır. Örneğin

\begin{eqnarray}
A &=& B + C\\
  &=& X + Y + Z
\end{eqnarray}

komutları ile aşağıdaki elde edilir. \begin{eqnarray} A &=& B + C\\ &=& X + Y + Z \end{eqnarray} Başka bir örnek olarak aşağıdakini inceleyin:

\lim_{n\rightarrow\infty}\left(\int_{a}^{b}f_n(x)g_n(x)\,dx\right)
&=& \int_{a}^{b}\lim_{n\rightarrow\infty}\left[f_n(x)g_n(x)\right]\,dx\\
&=& \int_{a}^{b}\left[\lim_{n\rightarrow\infty}f_n(x)\right]
    \left[\lim_{n\rightarrow\infty}g_n(x)\right]\,dx\notag \\
&=& \int_{a}^{b}f(x)g(x)\,dx
\end{eqnarray}

\begin{eqnarray} \lim_{n\rightarrow\infty}\left(\int_{a}^{b}f_n(x)g_n(x) \,dx\right) &=& \int_{a}^{b}\lim_{n\rightarrow\infty}\left[f_n(x) g_n(x)\right]\,dx\\ &=& \int_{a}^{b}\left[\lim_{n\rightarrow\infty}f_n(x) \right]\left[\lim_{n\rightarrow\infty}g_n(x)\right] \,dx\notag \\ &=& \int_{a}^{b}f(x)g(x)\,dx \end{eqnarray} eqnarray ortamında tüm denklemler ayrı ayrı numaralandırılır, bunun yerine eqnarray* ortamı kullanılırsa hiç bir denklem numaralandırılmaz. Sadece bazı denklemler numaralandırmak istenirse, numarası kaldırılmak istenen denklem içinde \notag komutu yazılır. eqnarray ile uzun denklemler parçalanabilir, bunun için boş karaktere hizalama yapılır. Yani hizalama için && kullanılır.

Tablosal Formüller

Tablosal denklemleri oluşturmanın bir yolu array ortamını kullanmaktır. Bu ortamda da eqnarray ortamında olduğu gibi satırlar arası \\ ile, sütunlar arası da & ile geçiş yapılır. Bu ortamda tablonun kaç sütundan oluşacağı ve bu sütunların nasıl hizalanacağı belirtilmelidir. Bunun için ortama sütun sayısı kadar l, c veya r karakterleri bitişik olarak yazılır. Bunların sol, orta ve sağ kelimelerini temsil eder.

\begin{array}{ccc}
A & B & C\\
X & Y & Z\\
\Delta & \Gamma & \Psi
\end{array}

$$ \begin{array}{ccc} A & B & C\\ X & Y & Z\\ \Delta & \Gamma & \Psi \end{array} $$

$$
f(x):=
\left\{
   \begin{array}{ll}
      x^2\sin\frac{1}{x},&\quad x\neq0\\
      0,&\quad x=0
   \end{array}
\right.
$$

$$ f(x):= \left\{ \begin{array}{ll} x^2\sin\frac{1}{x},&\quad x\neq0\\ 0,&\quad x=0 \end{array} \right. $$ Bu örnekte bir tanesini gördüğünüz gibi \ , \,, \:, \;, \quad ve \qquad ile matematik modunda boşluk bırakılabilir.

$$
\det A=\det
\left[
\begin{array}{ccc}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{array}
\right]=
\left|
\begin{array}{ccc}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{array}
\right|
$$

$$ \det A=\det \left[ \begin{array}{ccc}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{array} \right]= \left| \begin{array}{ccc}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{array} \right| $$

Etiketleme ve Referans Verme

Bir denklem etiketlenirse daha sonra ona referans verilebilir, eğer denklem numaralandırılmış ise referans olarak numarası döner. Etiketleme için \label{...} komutu kullanılır, etiket olarak istenilen kelime kullanılabilir. Örneğin bir denklem

\begin{equation}
	\label{denklem-1}
	L=\int_{a}^{b}\sqrt{1+[f'(x)]^2}{\rm d}x
\end{equation}

ile \begin{equation} \label{denklem-1} L=\int_{a}^{b}\sqrt{1+[f'(x)]^2}{\rm d}x \end{equation} biçiminde etiketlensin. Daha sonra bu denkleme \ref{...} ile referans verilebilir. Alternatif olarak amsmath paketinde bulunan \eqref{...} komutu kullanılırsa denklem numarası parantez içinde yazılır. Örneğin daha önce denklem-1 etiketi ile etiketlenen denkleme atıf vermek için \ref{denklem-1} veya \eqref{denklem-1} komutları kullanılabilir. Bu durumda çıktıda $$\ref{denklem-1}\qquad\text{veya}\qquad\eqref{denklem-1}$$ oluşturur.

Teorem ve Benzeri Ortamlar

Teorem ortamı tanımlamak için sahanlıkta \newtheorem{theorem}{Teorem} komutu kullanılır. Buradaki ilk argüman oluşturulacak olan ortam ismi, ikinci argüman ise bu ortamın yazdıracağı başlıktır. Bundan sonra belge içinde theorem ortamı kullanılabilir. Oluşturulan bu ortamda başlıkların numaralandırılma seviyesi \newtheorem{theorem}{Teorem}[section] gibi bir komutla belirtilir. Buradaki section kısmınıda hangi seviyede numaralandırma yapılacağı yazılır, chapter, section, subsection gibi. Aynı numaralandırma sistemine sahip başka bir ortam tanımlamak için \newtheorem{lemma}[theorem]{Lemma} komutu kullanılır. Aşağıdaki örneği uygulayın, daha sonra üzerinde bazı değişiklikler yaparak ve ortam sayısını arttırarak biraz gözlem yapın.

\documentclass{article}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[turkish]{babel}

\newtheorem{theorem}{Teorem}[section]
\newtheorem{lemma}[theorem]{Lemma}

\begin{document}
\section{Giriş}

Şimdi bir teorem yazalım.
\begin{theorem}\label{teorem-1}
Bu bir teoremdir, az sonra bunu ispatlayacağız.
\end{theorem}
Şimdi Teorem \ref{teorem-1} sonrasında bir lemma yazalım.
\begin{lemma}[Zorn Lemması]
Bu bir lemma, yani yardımcı teorem.
\end{lemma}
\end{document}

Teorem vb ortamların başlık ve gövde yazı tipleri değiştirilebilir, bunun için sahanlıkta amsthm paketinin \theoremstyle{...} komutu kullanılır. Bu komuta argüman olarak stil ismi girilir, stil çeşitleri plain (varsayılan budur), definition ve remark biçimindedir. plain teorem stilinde başlık kanlın ve gövde italiktir, daha önce verilen örnekteki ortam bu stildedir. definition stilinde başlık kalın, gövde ise düzdür. remark stilinde ise başlık italik, gövde düzdür. Numarasız ortamlar için \newtheorem yerine \newtheorem* komutu kullanılır.

\documentclass{article}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[turkish]{babel}

\usepackage{amsthm}

\newtheorem{theorem}{Teorem}[section]
\newtheorem{lemma}[theorem]{Lemma}

\theoremstyle{definition}
\newtheorem{definition}{Tanım}[section]
\newtheorem{example}{Örnek}[section]

\theoremstyle{remark}
\newtheorem*{remark}{Uyarı}

\begin{document}

\section{Giriş}

\begin{definition}
    Tanım gövdesi burada yazılacak
\end{definition}

\begin{theorem}
    Bu bir teoremdir, az sonra bunu ispatlayacağız.
\end{theorem}

\begin{lemma}
    Bu bir lemma, yani yardımcı teorem.
\end{lemma}

\begin{example}
    Örnek metni burada yazılır.
\end{example}

\begin{remark}
    Uyarı metni burada yazılır.
\end{remark}
\end{document}

Kanıtlar için amsthm paketinin sağladığı proof ortamı kullanılır.

\documentclass{article}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[turkish]{babel}
\usepackage{amsthm}

\newtheorem{theorem}{Teorem}

\begin{document}
\begin{theorem}
    Bu, çok önemli bir teoremdir.
\end{theorem}

\begin{proof}
    Burada teoremin kanıtını vereceğiz.
\end{proof}
\end{document}