Rasyonel Kümelerde Tanımlanmış Fonksiyonlar
Kayıt Tarihi:
Özet:
Tek değişkenli sürekli fonksiyonların bir çok temel özelliği reel sayıların tamlığından kaynaklanır, tamlık özelliği kaldırıldığında alışık olmadığımız bir çok durum ile karşılaşırız. Bu yazıda bunlara basit örnekler vereceğim.
Anahtar Kelimeler: ara değer özelliği · rasyonel sayılar · süreklilikBir $[a,b]\subseteq\mathbb{Q}$ kümesinde tanımlanmış sürekli fonksiyonları ele alalım. Rasyonel sayılar tam olmadığından reel aralıklarda tanımlanmış olan fonksiyonların sağladığı bazı önemli özellikler bu durumda sağlanmaz, aşağıda bunlara örnekler veriyorum.
- $f:[0,2]_\mathbb{Q}\to\mathbb{R}$ fonksiyonu $$f(x):=\frac{1}{x^2-2}$$ olarak tanımlansın. Bu fonksiyon kapalı ve sınırlı bir aralıkta süreklidir fakat sınırlı değildir.
- $f:[1,2]_\mathbb{Q}\to\mathbb{R}$ fonksiyonu $f(x):=x^2$ olarak tanımlansın. Bu fonksiyon kapalı bir aralıkta süreklidir fakat ara değer özelliğini sağlamaz; $f(1)=1$ ve $f(2)=4$ arasındaki $2$ değerini hiç bir zaman almaz.
- $f:[0,2]_\mathbb{Q}\to\mathbb{R}$ fonksiyonu $$f(x):= \left\{ \begin{array}{ll} 0,\qquad & 0\leq x\lt\sqrt{2}\\ 1,\qquad & \sqrt{2}\lt x\leq 2 \end{array} \right. $$ olarak tanımlansın. Bu fonksiyon kapalı ve sınırlı bir aralıkta süreklidir fakat düzgün sürekli değildir. Ayrıca bu fonksiyon sabit olmayan türevlenebilir bir fonksiyondur fakat aralık boyunca türevi sıfırdır.
Kaynak:
B. R. Gelbaum, J. M. H. Olmsted. Counterexamples in Analysis, Dover Publications, Inc., New York, 1992.