Hiç Bir Yerde Monoton Olmayan Bire-Bir Fonksiyon

$f:[0,1]\to[0,1]$ fonksiyonu $$f(x):=\left\{\begin{array}{cl} x,\quad & x\;\text{ rasyonel ise }\\ 1-x,\quad & x\;\text{ irrasyonel ise.} \end{array} \right.$$ olarak tanımlansın. Bu fonksiyon $[0,1]$ aralığının hiç bir alt aralığında monoton değildir, ayrıca bu fonksiyon bire-birdir.

Daha genel olarak $$g(x):=\left\{\begin{array}{cl} c+(d-c)\dfrac{x-a}{b-a},\quad & \dfrac{x-a}{b-a}\;\text{ rasyonel ise }\\ d+(c-d)\dfrac{x-a}{b-a},\quad & \dfrac{x-a}{b-a}\;\text{ irrasyonel ise.} \end{array} \right.$$ olarak tanımlanan fonksiyon $[a,b]$ aralığından $[c,d]$ aralığına bire bir bir dönüşümdür ve hiç bir yerde monoton değildir.

Kaynak:
B. R. Gelbaum, J. M. H. Olmsted. Counterexamples in Analysis, Dover Publications, Inc., New York, 1992.