Matris İzi ve İntegrasyon

Bazı açılardan matris izleri ilginç bir şekilde integraller gibi davranır. Örneğin integraller için sağlandığını bildiğimiz Hölder eşitsizliği aslında matris izleri için de sağlanır. $p,q>1$ ve $\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$ özelliğindeki $p$ ve $q$ sayıları seçilsin, ayrıca $A^\ast$ ile $A$ matrisinin eşlenik transpozu gösterilmek üzere $|A|:=\sqrt{A^\ast A}$ olarak tanımlansın. Bu durumda kompleks değerli ve $n\times n$ boyutlu $A$ ve $B$ matrisleri için $$|\Tr{(AB)}|\leq \Tr{(|A|^p)}^\frac{1}{p}\cdot \Tr{(|B|^q)}^\frac{1}{q}$$ eşitsizliği sağlanır.

Eğer $p=q=2$ seçilirse bu eşitsizlik Cauchy-Schwarz eşitsizliği olarak bilinen eşitsizliğe döner. İz ile integrasyon arasındaki bu benzerliğin kaynağını araştırırsanız şuna ulaşırsınız. Yukarıdaki eşitsizlikte bulunan $\Tr{(|A|^p)}^\frac{1}{p}$ terimine $A$ matrisinin p-normu denir ve bu değer $\|A\|_p$ ile gösterilir. Bir matrisin p-normu $$\|A\|_p:=Tr{(|A|^p)}^\frac{1}{p}=\left[ \sum_{k=1}^n \lambda_k^p \right]^\frac{1}{p}$$ biçiminde $A$ matrisinin $\lambda_k\geq0$ özdeğerleri yardımıyla hesaplanabilir.

Buradaki toplam işleminin size benzer normun integral formunu anımsatmış olması gerekir.