ÖRNEKLER

To many, mathematics is a collection of theorems. For me, mathematics is a collection of examples; a theorem is a statement about a collection of examples and the purpose of proving theorems is to classify and explain the examples...
John B. Conway
The only way to learn mathematics is to do mathematics. A good stock of examples, as large as possible, is indispensable for a thorough understanding of any concept, and when I want to learn something new, I make it my first job to build one.
Paul Halmos

Matematiksel kavramları ve sonuçları anlamanın en iyi yollarından birisi örnekler üzerinde çalışmaktır, özellikle tamamen soyut kavramlar bu yolla zihinde daha kolay canlandırılabilir. Bazen çarpıcı bir örnek ile bir çok şey değişebilir, tarih boyunca çok kez doğru bilinen sonuçlar aksine örneklerle çürütülmüştür. Bu sayfada size bazı kavramlar üzerine dikkat çeken bazı örnekleri göstereceğim, bunların çoğu aşikar olmayan durumlara işaret ettiğinden literatürde aksine örnekler (counterexample) olarak adlandırılır.

İntegrallenebilir Olan Fakat Antitürevi (Primitifi) Var Olmayan Fonksiyon [Analiz]

Özet: Sıçramalı süreksizlik noktasına sahip olan fonksiyonların antitürevi yoktur fakat bu fonksiyonların bir çoğu integrallenebilirdir, bu yazımda bu duruma en basit örneği vereceğim.

Anahtar Kelimeler: Antitürev · Integral · Türev

Kapalı Aralıkta Sınırlı Olan, Mutlak Ekstremumları Olan, Ara Değer Özelliğine Sahip Olan Fakat Hiç Bir Yerde Sürekli Olmayan Fonksiyon [Analiz]

Özet: Bu yazıda kapalı bir aralıkta sınırlı olan, mutlak minimum ve maksimum değerleri ile bunlar arasındaki her değeri alan fakat aralığın hiç bir noktasında sürekli olmayan bir fonksiyon örneği vereceğim.

Anahtar Kelimeler: Ekstremum · Süreklilik

Kapalı Bir Aralıkta Sınırlı Olup İntegrallenebilir Olmayan Fonksiyon [Analiz]

Özet: Her sınırlı fonksiyon Riemann anlamında integrallenebilirdir fakat bunun tersi doğru değildir. Bu yazıda sınırlı olmasına rağmen integrallenemeyen bir fonksiyon örneği vereceğim.

Anahtar Kelimeler: Integral

Kapalı Bir Aralıkta Sınırlı Olup Türevi Sınırsız Olan Bir Fonksiyon [Analiz]

Özet: Bir fonksiyon her özelliğini türevine aktarmaz, örneğin sınırlı bir fonksiyonun türevinde bu özellik görülmeyebilir. Bu yazımda bu duruma karekök fonksiyonu dışında başka bir örnek vereceğim.

Anahtar Kelimeler: Türev

Kendileri İntegrallenebilir Olup Bileşkeleri İntegrallenemeyen Fonksiyonlar [Analiz]

Özet: Sürekli fonksiyonların bileşkeleri (belirli koşullar altında) süreklidir, dolayısıyla bunların bileşkeleri integrallenebilirdir. Fakat bunlar sürekli değilse, integrallenebilir olsalar bile, bileşkeleri integrallenebilir olmak zorunda değildir.

Anahtar Kelimeler: Bileşke Fonksiyon · Integral

Kendileri Sınırlı Olup Limiti Sınırlı Olmayan Bir Fonksiyon Dizisi [Analiz]

Özet: Sınırlı fonksiyonların düzgün yakınsak bir dizisi sınırlı bir limite sahip olur. Burada yakınsamadaki düzgünlük kaldırılamaz, buna bir örnek veriyorum.

Anahtar Kelimeler: Düzgün Sınırlılık · Düzgün Yakınsaklık · Sınırlı Fonksiyon · Sınırlılık · Sınırsız Fonksiyon · Yakınsaklık

Kendileri Sürekli Olmayan Fakat Çarpımları Sürekli Olan Fonksiyonlar [Analiz]

Özet: Sürekli fonksiyonların çarpımları da süreklidir, fonksiyonlardan en az birisi sürekli değilse çarpımları sürekli de olabilir süreksiz de. Hatta her iki çarpanın süreksiz olması durumunda bile çarpım sürekli olabilir.

Anahtar Kelimeler: Süreklilik

Kendileri Türevlenebilir Olmayıp Çarpımları Türevlenebilir Olan Fonksiyonlar [Analiz]

Özet: En az biri türevlenebilir olmayıp çarpımları türevlenebilir olan fonksiyon örnekleri veriyorum.

Anahtar Kelimeler: Çarpma · Türev

L’Hospital Kuralının Uygulanamadığı Limit Örnekleri [Analiz]

Özet: Bir limitte L’Hospital kuralı uygulanmadan önce ilgili teoremin koşullarının sağlandığı doğrulanmalıdır, aksi taktirde yanlış sonuçlar elde edilebilir. Bu yazıda bu duruma örnekler vereceğim.

Anahtar Kelimeler: L’Hospital Teoremi · Limit · Türev

Limitlerinin Sırası Değiştirilemeyen Diziler [Analiz]

Özet: Bir dizide yakınsama düzgün değilse, farklı parametreler üzerinden ardışık olan alınan limitlerin sırası önemlidir. Bu yazıda bu duruma örnekler vereceğim.

Anahtar Kelimeler: Düzgün Yakınsaklık · Noktasal Yakınsaklık · Yakınsaklık

Monoton Olmadığı Halde Karesi Monoton Olan Fonksiyon [Analiz]

Özet: Bir fonksiyon bir aralıkta monoton olmasa bile karesi bu aralıkta monoton olabilir, buna bir örnek vereceğim.

Anahtar Kelimeler: Dirichlet Fonksiyonu · Monoton Fonksiyon

Monoton Olmayan Fakat Tersi Var Olan Bir Fonksiyon [Analiz]

Özet: Bir fonksiyonun tersinin var olması için monoton olması yeterlidir fakat gerekli değildir, bu yazıda bu duruma bir örnek vereceğim.

Anahtar Kelimeler: Dirichlet Fonksiyonu · Monoton Fonksiyon · Ters Fonksiyon

Noktasal Yakınsak Olan Düzgün Sınırlı Bir Dizi [Analiz]

Özet: Sanıldığının aksine düzgün sınırlılık düzgün yakınsaklığı gerektirmez, bu yazıda buna bir örnek vereceğim.

Anahtar Kelimeler: Düzgün Sınırlılık · Düzgün Yakınsaklık · Yakınsaklık

Paydasının Sıfır Olduğu Noktada Dikey Asimptotu Bulunmayan Fonksiyon [Analiz]

Özet: Bu durum sadece rasyonel fonksiyonlar için gerçekleşir, bunun dışındaki fonksiyonlarda gerçekleşmek zorunda değildir.

Anahtar Kelimeler: Asimptot · Dikey Asimptot · Rasyonel Fonksiyon

Paydasının Sıfır Olduğu Noktada Dikey Asimptotu Bulunmayan Rasyonel Fonksiyon [Analiz]

Özet: Rasyonel fonksiyonlar en sade halde değilse paydasının sıfır olduğu yerde dikey asimptota sahip değildir.

Anahtar Kelimeler: Asimptot · Dikey Asimptot · Rasyonel Fonksiyon

Rasyonel Kümelerde Tanımlanmış Fonksiyonlar [Analiz]

Özet: Tek değişkenli sürekli fonksiyonların bir çok temel özelliği reel sayıların tamlığından kaynaklanır, tamlık özelliği kaldırıldığında alışık olmadığımız bir çok durum ile karşılaşırız. Bu yazıda bunlara basit örnekler vereceğim.

Anahtar Kelimeler: Ara Değer Özelliği · Rasyonel Sayılar · Süreklilik

Rasyonel Sayılar Kümesinde Sürekli Olup İrrasyonel Sayılar Kümesinde Süreksiz Olan Fonksiyon [Analiz]

Özet: Thomae fonksiyonu olarak da adlandırılan bu fonksiyon bahsedilen ilginç özelliğe sahiptir, ayrıca bu fonksiyon süreklilik, türev ve integral konusunda bir çok duruma aksine örnek larak gösterilir.

Reel Sayılar Kümesinde Bir Sayıyı Sıfıra Başka Her Sayıdan Daha Yakın Yapan Metrik [Analiz]

Özet: Alışılmış metrikte sıfıra verilen her sayıdan daha yakın bir sayı bulunabilir, ama bir metriğin bunu sağlaması gerekmez. Bu yazıda buna bir örnek vereceğim.

Anahtar Kelimeler: Metrik · Metrik Uzay

Sınırlı Olan Fakat Kompakt Bir Kümede Yerel Ekstremuma Sahip Olmayan Bir Fonksiyon [Analiz]

Özet: Bildiğiniz gibi kompakt bir aralıkta sürekli olan bir fonksiyon bu aralıkta mutlak ekstremum değerlerine sahiptir, sınırlı bile olsa süreklilik olmadan her fonksiyon bu özelliği sağlamaz. Yerel ekstremumlar için bu durum daha karmaşıktır, bu örnekte kompakt bir kümede yerel esktremumu var olmayan fakat sınırlı olan bir fonksiyon tanımlayacağız.

Anahtar Kelimeler: Ekstremum · Süreklilik

Sınırsız ve Süreksiz Fonksiyonların Sınırlı ve Sürekli Limite Sahip Olan Bir Dizisi [Analiz]

Özet: Bazen sevmediğimiz fonksiyonlar da sevdiğimiz bir fonksiyona yakınsayabilir. Burada buna bir örnek veriyorum.

Anahtar Kelimeler: Sınırlılık · Sınırsız Fonksiyon · Süreklilik · Süreksizlik · Yakınsaklık