Hiç Bir Fonksiyonun Türevi Olmayan Fonksiyonlar
Kayıt Tarihi:
Bazı fonksiyonlar sürekli olmasa bile başka bir fonksiyonun türevi olabilir ama ara değer özelliğine sahip olmayan fonksiyonlar başka bir fonksiyonun türevi olamaz. Bu yazıda buna bir örnek vereceğim.
Anahtar Kelimeler: ara değer özelliği · Darboux teoremi · türevİşaret fonksiyonu hiç bir fonksiyonun türevi değildir. Daha genel olarak sıçramalı süreksizlik noktasına sahip olan her fonksiyon için durum böyledir. Darboux teoremi olarak bilinen sonuça göre türevlenebilir bir fonksiyonun türevi ara değer özelliğine sahiptir. Diğer yandan ara değer özelliği türev olmak için gereklidir fakat yeterli değildir, örneğin aşağıdaki fonksiyon ara değer özelliğine sahiptir fakat hiç bir fonksiyonun türevi değildir: $$ f(x):= \left\{ \begin{array}{ll} \sin(\frac{1}{x}),&\qquad x\neq0,\\ 1,&\qquad x=0 \end{array} \right. $$
Kaynaklar:
S. Öğrekçi. Temel Matematik Analiz, Nobel Akademik Yayıncılık, Ankara, 2018.
A.C.M. van Rooij, W.H. Schikhof, A Second Course on Real Functions, Cambridge University Press, Cambridge, 1982.